vom 16. Juni 1881. 595 



Qbn) r x \ 



ergeben sich die bei der Kettenbruchsentwickelung von — , ' 



auftretenden Theilnenner g k auf Grund der Gleichungen (P) und 

 (P") im Art. XV auch direct als die Quotienten der Division von 

 ■/}\D {t] ^x) durch D (t ~ l) (x), wenn t— n k ist, da diese beiden Deter- 

 minanten-Ausdrucke den Näherungsnennern ^ Ä (#) und ■^ k __ x {x) 

 proportional sind. 



Die hier definirte Beziehung zwischen Reihen von je 2m Grös- 

 sen ist eine „rationale", d. h. jedes Glied der einen von zwei ein- 

 ander entsprechenden Reihen ist als rationale Function der 2m 

 Grössen der anderen Reihe darstellbar. Setzt man demgemäss 



C f = Ö« (c , C x , . . . C 2w _i) (p = , 1 , ... 2 m - 1), 



wo 6|^ , Q$ , ... durch die Permutation i x , i 2 , ... i r bestimmte ratio- 

 nale Functionen der eingeklammerten Grössen c , c x , ... c im _ x be- 

 zeichnen, so stellen die Grössen 



Ö^W, C{ { \ ... C«_0 ( iJ = 0,l,...2m-l) 



eine zur Permutation Ä,- , A,- , ... h. ; gehörige Reihe dar; das Func- 

 tionszeichen 6 (7 ')Ö ra gehört also zu einer Permutation der Theil- 

 nenner </, welche entsteht, wenn man die Permutationen 



/l 2 ... r \ /l 2 ... /• \ 



V«! j 2 ... l r ) ' {h x Jl 2 ... Ä r J 



in der hier angegebenen Folge anwendet. Die durch die Ketten- 

 bruchsentwickelung vermittelten Beziehungen von Grössenreihen 

 hängen daher auf's Genaueste mit den Eigenschaften der Permuta- 

 tionen zusammen, und es ist namentlich die Ordnung der Permu- 

 tation (?) gleich derjenigen Zahl, welche angiebt, nach wievielmali- 

 ger Wiederholung der rationalen Operation öW man wieder zu der 

 Grössenreihe c zurückgelangt, von der man ausgegangen ist. Da die 

 Grade der Theilnenner g gleich n x , n 2 — n x , n 3 — n 2 , ... sind, also 

 der Grösse nach mit den für die Zahl u am Schlüsse des Art. I 

 unterschiedenen Intervallen übereinstimmen , so sind eben diese 

 Intervalle für alle mit einander in der oben definirten Beziehung 

 stehenden Reihen (c) von gleicher Grösse, d. h. die verschiedenen 

 Intervalle in der Zahlenreihe 1, 2, ... ?ra, welche keine die Ordnung 

 einer primitiven Recursionsformel für eine bestimmte Reihe (c) be- 

 zeichnende Zahl enthalten, sind für jede der auf einander bezogenen 

 Reihen gleich gross, aber anders und anders vertheilt. 



