596 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Die besondere Beziehung zweier Reihen (c), welche dadurch 

 definirt wird, dass die Theilnenner g in den Gleichungen (W) in 

 entgegengesetzter Folge erscheinen, verdient sowohl wegen ihrer 

 Einfachheit als auch desshalb eine nähere Darlegung, weil sie einen 

 in der Einleitung berührten Punkt genauer beleuchtet. Es seien 

 also 



h = oc i A = oo i 



%C h __ x X~ h = — 1 , Zc h _ l x~ h = — 1 



(W°) ä=i 9i~ - 1 ä=i 9r~-- 1 



U2 "• 9r—l * 



9 r 9x 



die für die Beziehung zwischen den beiden Reihen (c) und (c) 

 charakteristischen Relationen, welche bei Anwendung der im Art, I 

 eingeführten Bezeichnungen in folgender Weise dargestellt werden 

 können : 



^r v / — v „ T —h ' r j\ / — ■*? - —n 



Die letztere dieser beiden Gleichungen geht mit Hülfe der Relatio- 

 nen (P) und (P") im Art. XV in die Gleichung 



1 D^-^O) 



7i = =o 



über, welche zeigt, dass bei der Entwickelung einer bestimmten ra- 

 tionalen Function von x, deren Coefficienten aus den 2m Grössen 

 c , Cj , ... c 2n j_j rational gebildet sind, in eine nach fallenden Po- 

 tenzen von x fortschreitende Reihe die entsprechenden Grössen 

 <?o , c ! , ... c im _ 1 sich als die 2m Coefficienten von x^ 1 , x~ 2 , ... x~~ 2m 

 ergeben. Die Bildungsweise von v\ r geht aus der Gleichung (S') 

 im Art. XV hervor. Vertauscht man die Grössen c und c mit 

 einander, und bezeichnet man mit D(x) die den Functionen D(x) 

 analog aus den Grössen c gebildeten Ausdrücke, so kommt an 

 Stelle von (W) 



1 i> (m - x) (x) 





= ic 



da nun nach Art. VIII 



= Xöj^af 



-h 



D^(x) *=i ' 1)0») (a?) a=i 



ist, so können sich die beiden Functionen D^(x) und Z)("')(.r) nur 



