vom 22. December 1881. 1165 



Ferner las Hr. Kronecker: 



Zur Theorie der elliptischen Functionen. 



Die Formeln, welche Jacobi in der Einleitung zu seiner Ab- 

 handlung „sur la rotation d'un corps" gegeben hat, lassen sich in 

 einer einzigen Formel von bemerkenswerther Eleganz zusammen- 

 fassen. Bedeuten nämlich \x , v alle positiven ungraden Zahlen, m 

 und n aber alle ganzen Zahlen von — oo bis +oo, so ist der 

 Quotient von 3- Reihen 



1,.2 JL_t 1„2 



v — 1 



X (— q) m x 2m . 2 (— q) n y 2n 



eine Function F(q,x,y), deren Entwickelung nach ganzen Po- 

 tenzen der Variabeln x und y die Gleichung 



(I) F(q , x , y) = SS ^Vy'-afT) 



ergiebt. Bezeichnet man mit r den absoluten Betrag von q, so 



muss r<l sein, und die Gleichung (I) gilt für alle Werthe von 



i i 



x und y, deren absoluter Betrag zwischen r T und r a liegt. Ich 



habe die Gleichung (I) bereits im Juli 1876 der Akademie mitge- 



theilt, aber seither noch nicht durch den Druck sondern nur in 



meinen Universitätsvorlesungen veröffentlicht. 



Setzt man in der Gleichung (1) xy = z, differentiirt nach z 



und nimmt alsdann 2 = 1, so resultirt die Formel 



!v— 1 -. 2 



V (_ q y\2n J 



und wenn a; = e ;7r ', ?/ = e^ 7 " gesetzt wird, gehen die beiden For- 

 meln (I) und (II) in folgende über: 



X(— l) 2 W oif* 3 .^(— l) a 2 ? " sin(^+i})i/ff vv -.luv . , e , x 



CI°) — 5 — == ^ — 2" sin( / u.?+i'V5;7r 



5}( — //)'" 2 cos 2 ??&£ TT 2i ( — (/)""cos2n-/]7r "■ " 



rTT°i i — - — 2 1 = S2SM2" cos(m.— «')£*■ 



k ' [i(— ^) M "cos2n^7rJ ^ " 



