1166 Gesammtsilzung 



in welchen der absolute Betrag des imaginären Theiles von 27r£ 

 und 2 7TYi kleiner sein muss als logr. 



Für die Function F(q , x , y) besteht die Fundamental-Relation 



(III) F(q ,x,y) = q 2mn x 2n y 2m F(q , xq m , yq n ) , 



mittels deren die sämmtlichen Functionswerthe von F auf solche 



reducirt werden, für welche die Werthe von x und y innerhalb des 



i __i 



durch die Kreise mit den Radien r a und r '* begrenzten Ringes 



liegen. 



Die Formel (I) kann unmittelbar aus dem Cauchy 'sehen 

 Integralausdrucke hergeleitet werden, welchen man für die Func- 

 tion F(q , x , y) erhält, wenn man dieselbe nur als Function von 

 y betrachtet. Denkt man sich nämlich in 



"F(q,x,z) dz 



f 



y 2 7t i 



die Integration erst über einen den Punkt y umschliessenden Kreis 



_ i 

 erstreckt, dessen Radius kleiner als r * ist, alsdann über einen 



den Punkt y abschliessenden Kreis, dessen Radius grösser als 



i 

 r 2 ist, so ist das Resultat der ersten Integration vermindert um 



das der zweiten gleich F(q , x , y). Ersetzt man nun den ersten Kreis 

 durch einen beliebig grossen, den zweiten durch einen beliebig klei- 

 nen, so treten nach dem Cauchy 'sehen Satze die Werthe von 



_ F(q,x, z) _ 

 z — y 



an den Unstetigkeitspunkten £ hinzu, d. h. lauter Glieder 



± r x 



±q* —y 



in denen s die beiden Werthe -+- 1 und — 1 hat, und bei hinrei- 

 chender Vergrössernng des einen und Verkleinerung des anderen 

 Kreises werden, wie sogleich gezeigt werden soll, die Integrations- 

 resultate unendlich klein. Auf diese Weise erhält man für F(q,x,y) 

 die Entwicklung 



ZZ-xr„ — T3T7, (.=+i,-i), 



XX 



£ V 



welche unmittelbar zu der Gleichung (I) führt 



yr —v 1( i 



