(J) f F ^ x ^ di 



z — y 



vom 22. December 1881. 1167 



Jenes Cauchy'sche Integral 



I- 



kann auch als Summe von zwei Integralen 



fF(q , x , z) dlogz + f^^ dz^ 



j z y 



dargestellt werden. Das erstere dieser beiden Integrale verschwin- 

 det, wenn die Integration über einen Kreis mit beliebigem Ra- 

 dius erstreckt wird, weil F(q , x , z) eine ungrade Function von z, 

 d. h. weil 



F(q,x,z) = — F(q , x , — z) 



ist; das letztere der beiden Integrale aber geht vermöge der Re- 

 lation 



F(q,x,z) = — F(q , x~\ z- 1 ) 

 in das Integral 



- mi^är* 



J z — V 



über, und dieses — integrirt über einen Kreis mit dem Radius R — 

 ist nichts Anderes als das Integral (J), integrirt über einen Kreis 



mit dem Radius — , wenn dabei x~~ l für x und y~ l für y substi- 



tuirt wird. Es ist also nur zu zeigen, dass das Integral (J) ver- 

 schwindet, wenn die Integration über einen Kreis mit unendlich 

 kleinem Radius erstreckt wird, und zwar auch dann, wenn x~ 1 an 

 Stelle von x gesetzt wird. — Wird nun das Integral (J) über 

 einen Kreis mit dem Radius r n g genommen, so geht es, wenn 

 q = re wt gesetzt und die Relation III angewendet wird, in 



, _2x« fF(q,x,?e<»- nw ») .. 

 (rx) I — — ^-j t-1 idv 



V. * J r n_y § -\ e -vi 



über, und der Factor (rx~ 2 ) n — sowie auch (rx 2 ) n , welches dar- 

 aus entsteht, wenn man x~* statt x setzt — wird mit wachsen- 

 dem n unendlich klein, weil der absolute Betrag von x zwischen 

 r^ und r * liegt; aber das mit dem Factor (rx~ 2 ) n multiplicirte 

 Integral behält offenbar auch für unendlich grosse Zahlen n einen 

 endlichen Werth, und es ist hiermit der oben vorbehaltene Nach- 

 weis vollständig geführt. 



