1170 Gesammtsiizung 



Bedeuten v und w zwei complexe Grössen, für welche der 

 absolute Werth des reellen Theiles von 2«. logg und 2t«. logg 

 kleiner ist als der absolute Werth des reellen Theiles von logg 

 selbst, so liegt der absolute Betrag von q v und q w zwischen rz 

 und r~ ~z, und es gilt daher gemäss der Formel (I) die Entwickelung: 



(VII) q^ vw F(q,q v ,q w ) = X s qWv + tp) {1w + zv) ? 



wo sich die Summation auf die beiden Werthe s. = +1 und s = — 1 

 und auf alle positiven ungraden Zahlen \x , v bezieht. Ferner ist 

 gemäss der Definition der Function F(q , x ,?/): 



CVlU)2q^ u 'F(q : q v ,q w ) = 



2 (-1)" (2 n+ 1) q (n+i)2 . X (-IT q {v+w+n+ i )2 



z(-iy q M2 .x(-iyq (w+n)2 



wo sich die vier Summationen auf alle ganzen Zahlen n von — oo 

 bis -i-oo beziehen. Zur Verification der Reihenentwickelung (VII) 

 bedarf es also nur des Nachweises, dass das Reihen -Product 



2 X s q^ {2v+i ^ ® w +*y\ X (_ iYq iv+n)2 , X (— l) n q (w+n)2 



oder die hiermit identische Reihe 



(IX) 2^(— iyn+n sq ^+^)(.2w+,v) + ^+m9Hw+n9 (^~ = 1 ^ &j j 



t,w!m,n \m,H = 0,±l,±2,.../ 



mit dem Zähler auf der rechten Seite der Gleichung (VIII) d. h. 

 also mit dem Reihen -Producte 



x— 1 



(X) S(-l)" 2 ^Ks(-l) 2 g (w ^ 2 (,,X = ±l, ±3, ±5,...) 



übereinstimmt. Setzt man in dem Ausdruck (IX) 



}. = m _|_ n _(_-lj( u .4- l /) ? £ — — m _+- n _|_ 1 a ( a — ,,) 5 o- = 1.(^4-,,) 5 



so verwandelt sich derselbe in folgenden: 



(IX') 2 2(-l) x g ( " +w)(B+w+? - )_ ^ M ^' )+ ^ (?2+ ^ ) 2(-l) r eg^ (T "" £? ' + ^ ) 2g" £ ^, 



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