vom 22. December 1881. 1171 



in welchen die letzte Summation sich auf die Werthe ;x = 1,3, 5, ...2t— 1 

 erstreckt. Bei Ausführung dieser Summation wird für o 2g 0: 



X(—lYsq^- EX+E OXq- E ^ = Z(—lY- 5 -3 , 



und die Summation auf der rechten Seite ist auf s = +1 und 

 £ === — 1 sowie auf alle ganzen positiven Zahlen t zu erstrecken, 

 da o- = -K^ + i') und sowohl jx als c positiv ist. Setzt man aber 

 er = sn, so wird der Ausdruck rechts gleich der Differenz der 

 beiden Summen 



v(_ iyqn(n+\-t) ? X(—i)*q*i****ü (n = 0,±l,.± ?,...), 



dividirt durch (#? — <? _ 0' un( ^ J e< ^ e dieser beiden Summen ist gleich 

 Null, da, wenn man — m = n -J- X ± a setzt, 



V( i^KqM (»+*+?) __ ^V j'Nm+x+p^iCm+Xi?) (»j, w = 0, db 1, ± 2, ...) 



wird, und ?. dr £ ungrade ist. Es ist also in dem Ausdruck (IX') 

 nur noch j = zu nehmen, und derselbe reducirt sich daher, da 

 alsdann %q~ E! *S = er wird, auf die Reihe: 



2 X (- i)^ £0 ^ +W+ ^ )2+(ST -^ )2 , 



£,X,o- 



welche, wenn 2 st — A = « gesetzt wird, in die Doppelreihe 

 (X') X (- 1)* ( *- ?0 (« + x) /» + «^ 2+ * 2 



übergeht. In dieser verschwindet offenbar der mit A multiplicirte 

 Theil, weil für zwei entgegengesetzte Werthe von x das Vorzeichen 



( — l) 2 " " auch entgegengesetzte Werthe hat; der übrige mit y. 

 multiplicirte Theil aber verwandelt sich unmittelbar in das Reihen- 



Product (X), wenn an Stelle des Vorzeichens ( — l)i " das 



Product ( — l) 2 " ( — l) 2 ' genommen wird. 



Der Werth von 2q 2vw F(q , q° , q w ) bleibt, wie aus dem Aus- 

 druck auf der rechten Seite der Gleichung (VIII) ersichtlich ist, 



