1172 Gesammtsitzung vom 22. December 1881. 



ungeändert. wenn v oder w um eine Einheit vermehrt oder ver- 

 mindert wird; aber die Reihenentwickelung (VII) muss alsdann 

 modificirt werden. Indessen lässt sich auch die für beliebige 

 Werthe von v und w geltende Reihenentwickelung in ganz einfacher 

 "Weise darstellen, wenn man mit s(ä) das Vorzeichen des reellen 



Theiles von 7«. log- bezeichnet; alsdann ist nämlich 

 9 



2 q*™F(q, q\ q w ) = 2 (e (v + m +£) + s (w + n + J-) ) q 2 {v+m+ ^ iw+n+ %\ 



m , n 



wenn die Summation auf alle ganzen Zahlen m , n von ■ — oo bis 

 + oo erstreckt wird. Die Doppelreihe auf der rechten Seite die- 

 ser Gleichung ist eine Reihe von Potenzen einer beliebigen Varia- 

 bein, deren Exponenten die Producte von Gliedern zweier arith- 

 metischen Reihen, und deren Coefficienten in gewisser Weise als 

 ± 1 oder bestimmt sind; die Gleichung zeigt also, dass eine 

 solche Doppelreihe sich als Quotient von &- Reihen (VIII) aus- 

 drücken lässt. 



Nimmt man in der Formel (I') £ == ^ , 15 '= , so kommt 



9b(o)S„(i) 



und dass der Ausdruck auf der rechten Seite gleich 7z-3- 2 (o) 2 wird, 

 kann auf arithmetischem "Wege daraus gefolgert werden, dass 

 die Anzahl der Darstellungen einer ungraden Zahl als Summe von 

 zwei Quadraten sich durch den Überschuss der Divisoren von der 

 Form 4?i+l über diejenigen von der Form 4« + 3 ausdrückt. Es 

 ergiebt sich daher auf diese Weise die obige Gleichung (VI) und 

 mit Hülfe derselben resultirt aus der Gleichung (II') für '£ = die 

 Formel 



3- 2 (o) 2 a 3 (o) 2 = 4S^^ 5 



Fl V 



welche den von Jacobi am Schlüsse der Fundamenta entwickelten 

 Fermat'schen Satz über die Darstellung der Zahlen als Summen 

 von vier Quadraten enthält. Diese Formel erscheint aber hier auf 

 wesentlich arithmetischem Wege hergeleitet, da bei der zuletzt 

 angegebenen Verifications- Methode für die Gleichung (VII) nur 

 arithmetische Mittel zur Anwendung gekommen sind. 



