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 quali siano tali che nella espressione 



i termini contenenti potenze negative di se abbiano a fattor comune a)~^ , 

 V essendo l' intero più grande possibile compatibilmente col grado dei 



polinomi ^i.M, Apn- Tale é il punto di vista sotto cui mi sono posto 



in due precedenti lavori (*); tale é sopratutto quello assunto nella recente 

 Memoria, cosi ricca di risultati, del ch."° H ermi te (**). Dalle condizioni cui 

 sono cosi assoggettati i polinomi ^i.n, ••• Apn discende, come proprietà più 

 notevole, che essi sono soluzioni (o con vocabolo speciale, integrali) di 

 una stessa equazione ricorrente dell'ordine p -\- 1 , analoga a quella di 

 secondo ordine cui soddisfano i numeratori e denominatori delle ridotte 

 di una frazione continua. 



Ma come accade per le frazioni continue, anche per questa loro genera- 

 lizzazione due sono i punti di vista sotto i quali si può considerarne la 

 teoria. Nel primo, come é stato fatto nei citati lavori dal Jacobi per i nu- 

 meri, dall' Her mite e da me per le funzioni, si può prendere le mosse da 

 numeri (o funzioni) dati e da questi dedurre successioni di numeri (o fun- 

 zioni) che conducono alle relazioni approssimate opportune. Nel secondo 

 invece si può assumere come punto di partenza l' equazione ricorrente, 

 e vedere sotto quali condizioni essa definisce dei numeri (o risp. delle 

 funzioni) cui quelle relazioni approssimate siano applicabili, nel modo 

 stesso che avendosi una frazione continua, si può cercare sotto quali 

 condizioni essa é, o no, convergente. In altre parole, data una equazione 

 ricorrente dell'ordine p di cui A^^n-, A.2n-'-'Ap_n è un sistema fondamen- 

 tale d'integrali, si può proporsi la ricerca di numeri /l^, À^,...Àp tali che 

 il nuovo integrale 



/t^j^j 7, — |— A^Aoj-i —\~ * • • A-pJx 



p.n 



tenda per /i = co , il più rapidamente possibile a zero : l' esistenza di 

 questi numeri X^ .. . Àp essendo^, per l' equazione considerata, ciò che é la 

 eonvìergenza nel caso della frazione continua. L' integrale corrispondente 

 prenderà il nome di integrale distinto. 



(*) Saggio di una generalizzazione delle frazioni continue algebriche. Mem. dell' Accad. di Bo- 

 logna, S. IV, T. X, p. 513, 1890. Sulla generalizzazione delle frazioni continue algebriche. Annali di 

 Matem., S. II, T. XIX, pag. 75, 1891. 



(**) Sur la généralisation des fractions continues algébriques. Ann. di Mat., S. II, T. XXI. pag. 

 289. (1893Ì. 



