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La presente Memoria ha appunto per oggetto di studiare, sotto al secondo 

 punto di vista indicato (*), l' equazione ricorrente del terz' ordine, prima per 

 equazioni a coefficienti numerici, ossia dipendenti dal solo indice, poi per 

 equazioni ricorrenti algebriche, cioè i cui coefficienti contengono razional- 

 mente un parametro x. Nella prima parte, dopo riassunte alcune formole già 

 date in precedenti lavori e di cui dovremo poi fare uso, daremo la definizione 

 e la condizione di esistenza dell' integrale distinto ed il metodo per giungere 

 alla sua determinazione, accennando anche all'estensione della teoria ad 

 equazioni di ordine superiore al terzo; nella seconda, supporremo che i coef- 

 ficienti dell' equazione contengano linearmente un parametro x e conside- 

 rando un sistema di integrali An-, Bn-, Cn, di ovvia determinazione, razionali 

 interi in x, ci proporremo di cercare se esistono serie di potenze negative 

 di a?, 5" ed -Sj, per le quali l'integrale 



VI jj — I — o xj M H — o I o jj 



risulti della forma 



V V 1 V 2 



essendo v il più grande possibile compatibilmente col grado di An, Bn, Cn', 

 e troveremo, non solo che un tale sviluppo esiste formalmente, ma che 

 per valori di x sufficientemente grandi in modulo, esso coincide coli' in- 

 tegrale distinto dell' equazione ricorrente, quale si é definito nella prima 

 parte. Si ottiene cosi, sotto un nuovo aspetto, la generalizzazione della 

 teoria delle frazioni continue algebriche e più specialmente della parte più 

 difficile di essa: di quella parte che si occupa delle condizioni della loro 

 convergenza. 



(*) Le frazioni continue algebriche sono considerate sotto a questo punto di Yista nel mio la- 

 bore : Sur les fraciions continues algébriques, Ann. de 1' École Normale, S. IH, T. VI. 



