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onde 















Rn 

 Pn 



r— 1 



p 



Qn 



r—1 



v=0 



v=0 



f) Infine, essendo dal determinante d 



^n i-i n_}-i "~i~ ^n-f%i_(-i ~i~ ^it_{-i-t"'^?i 'J 5 



si ha, moltiplicando per tre costanti arbitrarie (*), sommando ed indicando 

 con Fn un integrale arbitrario della (1) : 



-t* n — . ^^-t'^n -\- 1 i" -t' nJ^n-i-i "*" -t^ n-^-\-Ln COSI ^ 



onde risulta che avendosi l'integrale P„ della (5), dal quale si deduce i^„, 

 r integrazione dell' equazione (1) é ricondotta a quelle di un' equazione 

 ricorrente di second' ordine, a secondo membro costante. 



2. Derivata nelle siieeessioni. — Prima di applicare le formole ora 

 riassunte e di ricavarne una estensione per la teoria delle frazioni continue 

 convergenti, ci conviene di definire la derivata di due successioni aventi 

 limite. Siano le successioni di numeri qualsiasi /i„ ,/«« , (ai = 0, 1,2,... co) 



che ammettono rispettivamente i limiti a e /? per /i = co . Il rapporto -j^- 3 



può o no, ammettere un limite per ii=.oo ', nel caso che lo ammetta, 

 questo limite si potrà molto naturalmente chiamare derivata della succes- 

 sione hn rispetto alla successione kn . Sia /l questo limite. È chiaro che 



se h ammette la derivata /l rispetto a kn, viceversa kn ammette la deri- 



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 vata j rispetto alla successione h^', é pure chiaro che per le derivate delle 



successioni valgono i teoremi della somma, del prodotto, del quoziente 

 nella stessa forma che per le derivate di funzioni, come pure vale una 

 proposizione perfettamente analoga a quella della derivazione di funzione 

 di funzione. 



Con una lieve differenza colla definizione delle derivate successive di 

 una funzione, differenza di cui il lettore scoprirà facilmente la ragione, si 

 possono definire le derivate d' ordine superiore di una successione rispetto 

 ad un' altra. Avendosi le successioni hn , kn , ed essendo PC la derivata di /i„ 



(*) È superfluo di ricordare che con costante s'intende, nella presente teoria, sia un numero 

 indipendente da n, sia ogni funzione periodica e ad un valore di n, col periodo uguale all'unità. 



