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rispetto a /?„, si potrà dire derwata di seeond' ordine di hn rispetto a ^^ il 

 limite, se esìste, di 



kn—^ 



— À' 



cosi, ammessa l' esistenza delle derivate di primo e di seeond' ordine Z' 

 e À", il limite, se esiste, di 



fin ~~ (^ n I 



"'M f-' Off 



kn - — P 



kn — - p 



sarà la derivata di terz' ordine, e cosi via. Dette /l' , /i" , . , . /l <*'' le derivate 

 degli r primi ordini, si ha 



/oN 3>.> V K — a—A\ K— ^) — X"{K — ^f X^r-.^jK — ^y-' 



<^) ^ -i::^ ÌK^^^ ' 



di cui é manifesta l'analogia collo sviluppo del Taylor. 



Avendosi le successioni hn, kn, In coi limiti rispettivi «, ^, y, si può 

 ancora considerare il limite di 



kn P 



In- 7 ' 



dove X' è derivata di hn rispetto a kn. Questo limite, se esiste, si potrà 

 dire la derivata seconda di hn successivamente rispetto a kn e ad 4- 



3. Convergenza dell' equazione ricorrente. — Dirò che 1' equazione 

 ricorrente (1) definisce un algoritmo convergente, o per brevità di linguaggio, 

 che essa è convergente, quando sono soddisfatte le due condizioni seguenti : 



« Esistenza di un sistema fondamentale Fn, Fi, F'J di integrali tali 

 (( che Fi : F„ , Fi' : F^ ammettano, per n = co , limiti finiti e diversi da zero ; 



(( Esistenza di un integrale (*), che si dirà integrale distinto, tale che 

 « il suo rapporto ad ogni altro integrale dell' equazione tenda a zero 

 « per n, = co . » 



Si noti che se la prima condizione é soddisfatta da un sistema fonda- 



(*) Non si riguardano come diversi due integrali il cui rapporto sia indipendente da n. 



