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mentale, essa é soddisfatta in generale (cioè a meno di una relazione fra 

 le costanti) da ogni altro sistema. Ciò posto, si ha sulla convergenza della 

 equazione (1) il seguente teorema assai semplice : 



« Verificata la prima condizione di convergenza, é necessario e suffì- 

 « ciente perché sia soddisfatta anche la seconda, che il rapporto F'„ : F„ 

 (c ammetta derwata finita e diversa da zero rispetto ad Fl':F„. » 



La condizione é sufficiente. — Rappresentiamo con hn, kn i rapporti 

 Fl:F„, F'J : F„ e con a, ^ ì rispettivi limiti per n^co. La hn avendo 

 derivata rispetto alla k^ si potrà porre per il § precedente : 



kn = ^-^£'„, hn = a -i- (Z -{- en){k^ — ^) 



dove /l é la derivata in discorso, ed £„ , el sono successioni tendenti a 

 zero per n = co . 



Siano ora aF„ -{- a' Fi -\- a" F'J , bF„ -\- b' Fi -\- b" F'„' due integrali qua- 

 lunque della (1) e pn il loro rapporto : potremo scrivere 



a -\~ a' a -\- a" ^ -+■ {a'{À-i- £„) -+- a")el 



^''~ b-i-b'a-h b"^ -h (6'(;Ih- £„) -+- b")el ' 



Distingueremo ora due casi. O l'integrale bFn -+- b' Fi' -\- b" Fi' è tale 

 che le costanti b, b' , b" non siano soluzioni dell'equazione 



(9) o) -[- ay -h §^ ^= , 



allora si prendano a, a', a" soluzioni di questa equazione e sarà lim pn = 0. 



invece le b, 6', b" soddisfano alla (9), ed allora si prenda il numeratore 

 in modo che a, a', a" soddisfino oltre che alla (9), anche a: 



(9') a'À-h-a"=:0, 



e si avrà ancora lim pn = . 



nz=:oci 



Da ciò emerge che fra gli co' integrali della (1) va distinta una varietà co^ 

 formata da quelli le cui costanti soddisfano all' equazione (9), e per ognuno 

 di essi il limite del rapporto con ogni integrale non appartenente alla 

 detta varietà co^ è nullo. Fra gh integrali di questa varietà ve n' é poi uno, 

 le cui costanti sono determinate dalle equazioni (9) e (9') e per il quale é 

 nullo il limite del rapporto ad ogni integrale della varietà stessa, e a far- 

 tiori ad ogni altro integrale dell'equazione (1); questo é l'integrale di- 



