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 stinto, che sarà pertanto espresso da 



(10) /„ = (A/? - a)F„ -K f: - XFi: . 



La condizione é necessaria. — Sia infatti convergente l'equazione (1) e si 

 indichi con fn il suo integrale distinto, con a, ^ \ limiti di Fi : F„, F'J : F„. 

 L' integrale distinto dovrà necessariamente appartenere alla varietà lineare 

 definita da F'„ — ot,F„, F'„' — ^F„, e sarà pertanto della forma 



fn = FI — aF^ -^- c(K' — aF„) . 



Se ora non è appunto /„ = Fll — aF^ , caso che si può sempre togliere 

 con una conveniente trasformazione del sistema fondamentale, sarà per 

 definizione 



lim ^,y- ^ =\ìm( ^:r''^j: ^c) = o, 



onde segue che — e é la derivata di F\^ : i^„ rispetto ad F\[ : F,, . 



Come si é già avvertito, al sistema fondamentale F„, F'„, F'J si può 

 sostituire un altro sistema fondamentale arbitrario. Ma qualunque sia 

 il sistema fondamentale da cui si parte, si giungerà sempre al medesimo 

 integrale distinto, il quale perciò è un invariante dell' equazione, come con- 

 segue dalla stessa sua definizione e come si verificherebbe senza difficoltà 

 mediante un calcolo diretto. 



4. Metodo per la ricerca deli' integrale distinto. — Data l' equazione 

 ricorrente (1), il seguente metodo può servire a ricercare se essa sia con- 

 vergente, e a determinarne l' integrale distinto. 



Neil' ipotesi che 1' equazione sia convergente, dei tre integrali ^„, Bn^ Cn 

 uno almeno avrà, cogli altri due, rapporti non tendenti azero per n = 00; 

 sia per es. An\ allora ì rapporti Bn'.An^ Cn'.An ammetteranno limiti finiti 

 a e ^. Ora dalle formole (7) risulta che la condizione per l'esistenza di 

 limiti finiti per Bn : An, Cn : An coincide precisamente colla condizione di 

 convergenza delle serie 



(11) ^3 V^ Qy-t-i ^3 I \^ -^vH-i 



A^ ^aiA^A^_j^_i A^ ,^A^A^_^,i 



v=3 v=3 



Cn 



Nel caso che fosse lim —^ = ce per es., si considererebbero le serie 



An 



(11') 



00 00 



v = 3 v = 3 



^trie y. — Tomo JV. 39 



