— 306 — 



o 



(11") 



onde; 



B. 



-1 



v = 3 



CA. 



a 



y 



Qv- 



v = 3 



« Condizione necessaria per la convergenza dell' equazione (1) é che 

 (( siano convergenti le serie di almeno una delle coppie (11), (11'), (11"). » 



Supposta soddisfatta questa condizione, consideriamo gli integrali 

 En-= Bn — aAn, £'„= Q, — ^A,,', la varietà lineare co^ data dsi cE„ -\- e' E'^ 

 è formata, come si é visto, dell'insieme degli integrali il cui rapporto ad 

 ogni altro, non appartenente alla varietà stessa, tende a zero per n = co . 

 L' equazione di secondo ordine 



(12) 



Fn 



Fn^, 



^" + 2 



£■. 



En^^ 



En^2 



e: 



E'n^l 



E'n-i-2 



= 



avrà per integrale la varietà in discorso. Ma questa equazione del secondo 

 ordine dà luogo ad una frazione continua, la quale, se é convergente ed 

 ha per valore a , ammetterà le ridotte della forma 



tali che 



a 



aE„-\- a' E'„ 

 bE„-hb'E: 



(^E„ -+- a' E\, /„ 



bE,,-^b'E' bE^-^b'E. 



I 5 



dove il secondo membro é il cosi detto resto della frazione continua, ed 

 ha pertanto la proprietà che : 





Jn 



b'E. 



7 = 



La Fn è un integrale dell'equazione (12) e perciò della (1), il quale 

 gode della proprietà che il suo rapporto ad ogni altro integrale della va- 

 rietà cE„-\-g'E„ ha per limite zero: perciò esso é l'integrale distinto del- 

 l'equazione (1). L'esistenza dell'integrale distinto coincide adunque colla 

 convergenza della frazione continua definita dell'equazione ricorrente (12). 



