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detta caratteristica per l'equazione ricorrente, ed in generale a quella di 

 modulo massimo. Per l' applicabilità di questo teorema è però necessario 

 che si sappia che il rapporto Fn^i'.Fn non é suscettibile di oscillare in- 

 definitamente fra ed co in valore assoluto. 



Se ora nelle equazioni (1) e (5) si suppone che a», by, tendono per 

 71 = co ai limiti p, q, il teorema ora ricordato risultando applicabile a que- 

 ste equazioni, ed ammettendo di più che l' equazione caratteristica 



(15) z^ — p^—qz — l = 



abbia le tre radici diverse in modulo, é facile vedere che ci si trova nelle 

 condizioni del § precedente. 



Indicando infatti con Pj, Pg, p^ le radici della (15) in ordine di modulo 

 decrescente, il limite di uno almeno dei rapporti An-^i'-An, Bn^i'.Bn, 

 C'„_,_i : Cn (in generale di tutti e tre) sarà p^ : sia esso p. es. il limite di 

 An^i'.An', cosi, l'equazione caratteristica di (5) essendo la 



(16) z^^q£'-^p:s — l—0, 



reciproca di (15), uno almeno dei rapporti Pn^i'-Pn, Qn^i'Q», Rn^i'-Rn 



1 



per esempio il primo, ammette il limite — . Ne viene che nelle serie (11), 



Pz 



1 



il limite del rapporto di un termine al precedente è in generale 2? P0~ 



Pzpi 



1 1 



tendo in casi speciali essere ^ od — j. Ma si ha 



5 od 



P2PÌ 



1 



Pi 



P1P2P, = 



^1, 



onde il limite 2 ®d a fortiori gli altri sono minori dell' unità : da cut 



PzPi 



risulta la convergenza delle serie (11) e l'esistenza dei limiti oc, /? di 

 Bn-An, Cn '. A^ . Analogameutc, considerando le serie della forma 



r ^v V ^v 



(formule (7')) che danno l'espressione dei limiti di -^ , ^, si trova che il limite 

 del rapporto di un termine al precedente é in generale Pipl, potendo 



