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II. 



8. Come si é accennato nella introduzione, in questa parte si conside- 

 rerà l'equazione ricorrente di terz' ordine i cui coefficienti contengono li- 

 nearmente una variabile complessa x. Si prenderà l'equazione ricorrente 

 sotto la forma 



Data l'equazione (1), ho dimostrato in altro lavoro (*) che é sempre 

 possibile di determinare /or/?ia/men^e, ed in modo unico, un suo integrale a^ 

 tale che le a^ costituiscono una successione di serie di potenze negative 

 di 3G, di grado (**) ordinatamente decrescente di un'unità. La determina- 

 zione delle (Tn si riduce alla ricerca dei coefficienti delle serie iniziali (Tj, 

 ffg (facendosi c7q = 1), e questi coefficienti si possono determinare univocamente 

 per mezzo di sistemi di equazioni lineari a determinanti non nulli. Ma la 

 questione della convergenza di questi sviluppi, nonché quella del legame 

 fra esso e l' integrale distinto, non é stata ancora considerata : ora nelle 

 righe che seguono si tratterà appunto di tali questioni, alle quali si giun- 

 gerà a dare una risposta soddisfacente dimostrando il seguente teorema : 



« I coefficienti a„, b„, bl tendano,, per n=:oo, ai limiti finiti e determi- 

 « nati a, /?, /?' rispettivamente e /5 si supponga diverso da zero. In tale ipo- 

 « tesi, per valori della variabile complessa a) di modulo sufficientemente 

 « grande, la equazione (l)é convergente. Di più, il suo integrale distinto é pre- 

 ce cisamente quello (di cui é nota formalmente l'esistenza e l'unicità) che é 

 « rappresentato da un sistema di serie di potenze negative di x di grado 

 « ordinatamente decrescente di una unità. » 



9. Consideriamo, come nel § 1, il sistema fondamentale d'integrali 

 An, Bn, Cu della equazione (1) definito dalle condizioni iniziali 



A^=l, B, = 0, C, = 0, 

 A^ = 0, B^ = l, C,=:0, 

 A^ = 0, B^=:0, C, = l. 



Si scorge senza difficoltà che questi integrali costituiscono tre sistemi di po- 



(*) Saggio de una generalizzazione ecc., § 25. Ivi è considerato il caso di equazioni ricorrenti 

 della forma (1), ma di ordine qualunque. 



{**) Con Posse, Sur que/ques applications des fractions continues algébrìques, (S.t Péter- 

 sbourg, 1886) una serie di potenze decrescenti di x che incomincia col termine x^ è detta del 

 grado [a. 



