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Ricordiamo ora che per un citato teorema del Poincaré, il limite dei 

 rapporti suddetti è una delle radici dell'equazione caratteristica della (2), 

 €Ìoé di 



<5) ^H-(^^-f-/?')^H-a^ — 1 =:0. 



Inoltre, al crescere indefinito del modulo di x^ due delle radici di que- 

 sta equazione tendono a zero, mentre la terza cresce indefinitamente. Se 

 indichiamo con p^{x), Pj^^)-) Pzi^) le radici dell'equazione 



(6) ^— a/— (/?£C-H/?')^ — 1 = 



ordinate secondo i moduli decrescenti, la radice di (5) il cui modulo cre- 



1 

 sce indefinitamente con \x\ é r-^, talché segue dalla proprietà dimo- 



strata \Pn^\'-Pn\ > Ij che 



lim 



-^n_i_i 



ìf^oo -t^n PsK'^) 



ed analogamente per Q^ ed R^. 



Veniamo cosi a trovarci nelle condizioni del § 6. Quindi, in seguito 

 alle conclusioni di quel §, possiamo enunciare che: 



« pei valori di x superiori in modulo ad un numero R opportuna- 

 « mente scelto, i rapporti Qn'.Pn, Rn- Pn convergono, per /i = co, a limiti 

 « determinati che indicheremo con U{x), V(x) ; 



« di più, per tali valori di x, l'equazione (1) é convergente ed ammette 

 « l'integrale distinto nella forma 



(7) X,, = A,-HU{x)Bn-+-V{x)Cn. » 



11. Per raggiungere pienamente il nostro intento, ci rimane ancora da 

 vedere anzitutto se le U, V, X^ sono funzioni analitiche di x regolari 

 fuori del cerchio di centro x=.0 e di raggio R (che si dirà cerchio R) e 

 come tali sviluppabili in serie di potenze decrescenti di x ; in secondo 

 luogo, se le serie di potenze X,^ sono di grado ordinatamente decrescente 

 di un'unità e precisamente dell'ordine — n, coincidendo cosi coli' in- 

 tegrale speciale che si é ricordato al § 8. Ora ciò avviene effettiva- 

 mente, qualora si sappia che il rapporto Pn^x'-Pa tende uniformemente 



1 

 al suo limite — ^-^ per i valori di x di ugual modulo. Fatta questa ipotesi, 



