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possiamo dimostrare le seguenti proposizioni : 



I. « Pei valori di x esterni al cerchio R^ le Pn{oG) non si annullano. » 

 Infatti, se fosse P„ . g^O, ne verrebbe per la (2) 



{bnX -H è„) 



f x-in-t-2 



Ji-f-l 



a,. 



Pn 



n — 1 



Pn. 



ma il primo membro é maggiore di (1 H- ri){a -+- ?^ -t- 2), mentre il secondo 

 é minore di a h- 1 , onde l'uguaglianza precedente é impossibile. 

 II. (( La serie 



<8) 



M = 



\P p 



n-i- n.x-\ 



« converge in ugual grado lungo le circonferenze del piano oc avente per 

 <( centro ^ = e raggio abbastanza grande. » 



Dimostrazione. Intanto, per il teorema precedente, i termini della se- 

 rie (8) rimangono finiti pei valori di x presi lungo una circonferenza di 

 centro e di raggio ^ superiore ad R. Ora, alla serie (8) sostituiamo la 



(8') 



dove le CJ sono definite da 



c\kl) 



«=o 



P P 



>i_t-l 



(9) 



c:^3 = «c:^.2 -I- ijbx -4- 6')c:^i h- c: 



colle (condizioni iniziali Có:= 0, Ci= 0, C2= 1 ; dal confronto della (9) 

 colla (2) si ha manifestamente, per |^|=:|, 



\Cn{0Ò)\<Cll), 



onde dalla convergenza in ugual grado della (8') risulterà afortiori quella 

 della (8). 



Si faccia ora 



oo 



(10) S{x,z) = YiC\^^{x)z^\ 



n = 



ne risulta in forza della (9), e tenuto conto dei valori iniziali delle C'„: 



1 



(11) 



S{x , z) = 



1 — az — {bx -+- b')2~ — 



.3 ' 



