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lo sviluppo (10) sarà valido, dato x^ per tutti i valori di z il cui modulo 

 é minore del modulo della minore radice dell' equazione 



(12) £" -4- {bx -H 6')/ -H a^ — 1 = ; 



sia r{x) questa radice di modulo minimo. 



Lungo la circonferenza di centro éc = e di raggio | la |r(^)|, come 

 funzione continua di x^ avrà un minimo r{oc^^ e se -S' é il massimo valore 

 assoluto di S{x^ z) per |a?| = | e z interno al cerchio rir{x^^ dove ?^ é un 

 numero positivo arbitrario minore dell'unità, si avrà per un noto teorema 

 sulle serie di potenze : 



(13) C^^ll) < ^ 



yf r\x^ 



Ma dalla teoria delle equazioni algebriche si avverte facilmente che r{x) 

 é sviluppabile in serie della forma 



e. Ca 



(14) ;.(^)^ 1 (e^^^^-^ 



\/ X \ 



<ÀJ c/y 



per tutti i valori di \x\ superiori ad un numero positivo a il quale di- 

 pende esclusivamente dall'equazione (12), cioè dalle costanti a,b,b'', di 

 più, per valori di \x\ finiti ma superiori ad un numero positivo a', la 

 serie tra parentesi nella espressione (14) non si annulla più ed ha quindi 

 un limite inferiore per i suoi valori assoluti ; sia questo K. Per tali va- 

 lori di X che sia 



si ha dunque 



§ = |-c| > a' > a 



\r{x)\> ^ 



\/l 



onde infine, per la (13) : 



(15) C.+ll) < %^ ■ 



Veniamo ora a considerare i denominatori dei termini della serie (8'). 

 Ricordiamo che il limite di Pn-i-i ' Pn é, per n- = oo , la radice di modulo 



