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i coefficienti a^]^ conisergono uniformemente allo zero. Questo teorema che 

 é l'estensione di quello suaccennato dal sig. Cantor, é dal prof. Ascoli 

 stabilito con una dimostrazione, che si informa a quella del sig. Cantor 

 medesimo, e sulla quale egli stesso é ritornato con una nota pubblicata 

 nel 1882 nei rendiconti dell'Istituto Lombardo. 



Qui io dimostro che alla mia proposizione, richiamata in principio, si 

 può dare una ben naturale estensione e trarne agevolmente una proposi- 

 zione generale che contiene in sé quella del sig. Ascoli. 



2. — Sia A un'area determinata nel piano delle x e. y e, sopra di essa 

 un gruppo infinito di piani z ■= z^^ z =^ z^, . . . z = Zg,. . . , aventi un piano 

 limite z = Zq. Dentro l'area K, sopra ognuno di essi z = Zs si considerino 

 due pezzi (d'^\ cd^^\ . . . o['^ determinati e separati gli uni dagli altri il cui nu- 

 mero può anche crescere al tendere di Zg a z^ ; se la somma delle aree di 

 questi pezzi è sempre maggiore di un numero assegnabile 6., esiste almeno 

 una retta x = Xq, y^y^^ x^y^ essendo un punto dell'area K, la quale in- 

 contra infiniti pezzi o, giacenti in piani del gruppo. 



Accennerò rapidamente la dimostrazione che é in tutto simile a quella 

 da me data pel caso che il campo A sia una linea. 



Si segnino nel piano ^ = ^^ dentro il campo A , i contorni dei pezzi 

 ^i^"-^V^, o almeno dei cerchi contenuti in essi. Sopra ognuno di tali con- 

 torni o cerchi, come curve direttrici, si immagini una superfìcie cilindrica 

 colla generatrice parallela all'asse z) se nessuna di tali superfìcie cilindri- 

 che incontra infiniti pezzi o, situati nei piani successivi, nel quale caso il 

 teorema sarebbe dimostrato : vuol dire che da un certo piano in poi^ i pezzi 

 Q ivi esistenti giacciono in modo che dentro una almeno delle superfìcie 

 cilindriche menzionate vi é sempre su tutti i piani successivi una porzione 

 di essi che é in somma, maggiore di g, numero assegnabile : ovvero ciò non é. 



In questo secondo caso, preso e piccolo a piacere, si troverà, proce- 

 dendo innanzi, un piano, oltre il quale la somma dei pezzi o porzioni di 

 pezzi o contenuti dentro quelle superficie cilindriche, é minore di £ : e 

 quindi, a partire da un tal piano ^ = ^^^ , i pezzi a esistenti nei piani 

 successivi, oltre le parti di essi interne ai cilindri, giaceranno in una por- 

 zione del campo A, espressa da A — {d^ — ^^i^)? ^«i essendo un numero 

 tra e 1. 



Si parta dal piano z ■= z^^ e si operi su esso, come si é operato sul 

 piano z^= z^: si trova una superficie cilindrica che incontra infiniti pezzi o 

 o almeno che contiene dentro di sé una somma di essi o di porzioni dei 

 medesimi, maggiore di un numero assegnabile g^ , ovvero ciò non é . In 

 questo secondo caso si trova un piano z^=Zs^, a partire dal quale, su 

 tutti i successivi, i pezzi a, tolta la parte di essi, che é interna a quei ci- 



