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 se ne può sempre trarre una terza 



il cui termine gcuierale (pinisp/isp) tende a zero col tendere di rrisp, risp) s,:- 

 {rrif/i^ ; ma ciò significa che fra i termini della serie a) ve ne é solamente 

 un numero finito, il cui valore assoluto sia maggiore di un numero £,, 

 preso ad arbitrio : perché, se ve ne fossero infiniti, con essi si formerebbe 

 una serie come la /?), dalla quale sarebbe impossibile trarne una come 

 la y), i cui termini tendono a zero. 



Dall'essere ^/z/ijYo il numero dei tei*miiii a) maggiori di un numei'O e 

 arbitrario, segue evidentemente 



\m\(p{msi ^s) =^ 



al tendere di {nis, tis) a (m^, n^) , come volevasi dimostrare. 



In particolare, il gruppo dei valori {/n, n) potrebbe essere quello di lutti 

 i valori interi positivi e negativi, e allora la coppia limite {in/i^ sarebbe 

 la coppia per la quale è | m \-^\n\=. oo . 



4. — Ma si può anche stabilire un risultato più generale. 



Siano /j(^?/m5j77^j) , /'^{xt/iris/is^ -, • • -/piooginspris^) delle funzioni in numero 

 finito, ognuna delle quali, per ogni coppia di valori {m, /i) presi tra quelli 

 di un gruppo finito 



1) {in^n^), {mji^), . . . 



é data in tutti i punti {x,y) di un'area ^ e al tendere di (m,. n) verso 

 {rnji^ coppia-limite del gruppo detto, sia per ogni punto {x , y) 



2) lim \ f^inis, , n,^)f^{xyms,n,) -+- q)^{nis^ , n,^)fj^xyni,^ns^) h H 



-H {rnspns,)fp{xym,pns.,) | == . ,-. 



Fissati due numeri positivi g e g , prossimi ad arbitrio, esista nell'area 

 A, per ogni coppia di valori {m , n), un insieme di pezzi o , di somma 

 sempre maggiore di d^ numero assegnabile, nei quali sia ognuna delle 

 /i? c/s' • • -c/p compresa fra g e g ', parimente esista, un insieme di pezzi o', 

 di somma sempre maggiore di d^ assegnabile, nei quali sia /j compresa 

 tra — g' e — g, mentre le altre /gj/g,--.^ rimangono comprese tra g e 

 g' : vi sia poi un'altro insieme di pezzi «", pure di somma maggiore di 



Serie V. — Tonu IV. 48 



