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5. — A questa conclusione si perviene anche ponendo altre ipotesi pel 

 valori della, f^f^. . ./p nei pezzi o, a', o". Basterà che si possano stabilire 

 p relazioni distinte della forma 6). 



6. — Nelle /^, f^, .. .fp si può supporre che le variabili siano più di 

 due e cosi pure i parametri (m, n, ...): tenute ferme le stesse ipotesi si, 

 perviene alle stesse conseguenze. Non si ha più qui 1' aiuto dell'intuizione 

 geometrica immediata, ma non é diffìcile dare al ragionamento una veste 

 prettamente analitica. 



7. — Facciamo un'applicazione delle proposizioni precedenti. 



Sia /{os, li) una funzione delle variabili reali x e y, coi due periodi z 

 e x' , dimodoché si abbia 



f{x-^t,y)=f{oc,y) 

 Ax,y-^T')=J{x,y) 



e si sappia che essa ha un valore positivo maggiore di g, in tutta un'area 

 determinata o minore o eguale a tt' ; condizione che sarà certo verificata 

 se f{x, y) è continua e in un punto ha un valore g' maggiore di g posi- 

 tivo. Si consideri /{nix, ny) dove m e ti sono due interi : si avrà 



/(nix -]-T, nyj =f(ni(x -+- ~\ , nyj =f(mx, nyj 

 /(nix, ny -+- t'J =f(,nx, n[y -^ ^)) ^f{rnx, nyj ; 



J\nix, ny) avrà dunque per periodi — e , — r e in ogni rettangolo di am- 

 piezza i : esisterà un'area ■. r, nella quale é sempre finix. ni/)'> g, 



^ \ni'n\ \mn\' ^ r e/ \ ? e// — y 



Inoltre, se \mn\^ è abbastanza grande: nel campo A, qualunque ne sia 

 la grandezza, entrerà sempre almeno un rettangolo , ^^ , e quindi un'area 

 o 



\mn\^ 



|m/i|j 



. Perciò se é 



\mn\ = \mn\^g -+- r 



nell'area A esisteranno almeno q aree r r, nelle quali é f{mx,ny)>_g, 



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