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 rema di H e 1 m h o 1 1 z , la condizione seguente : 



k \{i:^hidx -H /\'rdy -f- A-wd^) — 



1 9 lo lo 



€ ricordando che — -x-^^u, — 7:^'^% — 7^^"^^% sono le componenti À,u,v, 



^ b b 



della flessione, e che iiÀdx -+- fidy -+- vdz) rappresenta la vorticosità di 2° 



ordine, si può enunciare il teorema seguente : 



È eondhione necessaria e sufficiente per V esistenz-a del teorema di Helm- 

 Jioltz in un fluido viscoso, che sia nulla la vorticosità di 2° ordine per 

 qualunque linea chiusa tracciata nel fluido. 



È facile vedere che ciò equivale ad ammettere l' esistenza del poten- 

 ziale di flessione ; di modo che, all' infuori di questo caso, pel quale si é 

 veduto che il fluido può considerarsi privo d' attrito, mai potrà sussistere 

 il teorema di Helmholtz, nel movimento dei fluidi viscosi. 



Anche il Prof. Poincaré, nelle sue lezioni, testé pubblicate, »Sw//a /eo- 

 rica dei vortici (*), ricerca in quali casi sussiste il teorema di Helmholtz 

 nei fluidi viscosi, ma trova soltanto la condizione necessaria (non suffi- 

 ciente) che il vettore (o, %,p) della rotazione coincida, in direzione, con 

 quello di componenti 'A'o, ^'Xi ^-^'P- Quando esiste potenziale di flessione, 

 questa condizione é sempre soddisfatta, perché essendo 



\^l/ ^z I 





> 





è nullo il secondo vettore indicato dal Poincaré, il qual vettore é quello 

 che rappresenta il moto vorticoso di 3° ordine. 



Dalle equazioni del moto, derivando la terza rispetto ad ^ e sottraen- 

 dola dalla seconda, derivata rispetto a a-, si ottiene 



do , . „ 'du ^Un, i^u 

 — - = kA^o ■+- r— o -+- ^—X •+■ ~-p , 

 dt ^x ^y ^z' 



(*) H. Poincaré. Théoric des tourbillons, legons profesées a la faculté des sciences de Paris, 

 pag. 192. Paris, Georges Carré; 1893. 



