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unità il valore della variabile: 0f=/x+1, accanto alla quale si consi- 
dereranno le operazioni formate linearmente con 0 e colle sue potenze e 
quindi anche col simbolo della differenza finita, e che perciò chiameremo 
forme lineari alle differenze. 
Nell'articolo I della presente Memoria si definiscono la moltiplicazione 
e la divisione di queste forme e si dimostra che per esse si può costruire 
un’algebra che non sclo ha un perfetto riscontro in tutte le sue parti col- 
l’algebra delle funzioni razionali intere, ma la racchiude anzi come caso 
particolare. Nel II, premessa una doppia generalizzazione del quadro dei 
coefficienti binomiali, che conduce d’una parte alle funzioni simmetriche 
semplici, dall’altra alle cosidette funzioni omogenee complete, si studia lo 
sviluppo della potenza intera e positiva di una forma alle differenze del 
prim’ ordine, E(f)=fx+1— dafe, 0 simbolicamente E=0 — a,. Inversa- 
mente, si ottiene lo sviluppo di 0” secondo le potenze di E: nell’uno e 
nell’ altro caso, si ottengono formule di una notevole semplicità. Con una 
ovvia estensione della derivazione si presenta per le forme alle differenze 
una formula perfettamente analoga a quella di Maclaurin per le fun- 
zioni razionali intere; si studiano poi gli integrali di E”, o soluzioni di 
E” =0, per le quali si trova una legge di formazione assai degna di 
nota; infine nel largo campo di applicazioni cui può dare luogo sia la 
specializzazione della funzione a, che figura in £, sia quella della funzione 
arbitraria, ne viene scelta una che dà colla massima facilità le note for- 
mule per la trasformazione delle potenze in fattoriali. Nell'articolo II si 
incomincia col definire i campi funzionali entro i quali si può aggirare la 
funzione arbitraria nel modo più conveniente per la presente teoria, collo 
scopo cioé di. stabilire delle classi di funzioni per le quali sia assicurata 
la convergenza delle serie di potenze di 0 rappresentanti operazioni. cui 
quelle funzioni sono sottoposte; si studiano poi le operazioni funzionali 
rappresentate da tali serie di potenze, per le quali si danno le condizioni 
di validità, o come conveniamo di dire, si determinano i campi funzio- 
nali di convergenza ; indi si dimostra, per la serie di questa natura, un 
teorema che permette di applicare loro il metodo dei cofficienti indeter- 
minati. Ma l’analogia fra queste serie funzionali e le serie di potenze 
della analisi ordinaria si può proseguire più. oltre: se in una serie di 
potenze di 0, rappresentante un’ operazione funzionale che diremo A, 
sostituiremo alle potenze di @ le loro espressioni per le potenze di E 
ottenute al II, dedurremo dalla A una operazione B che nel campo funzio- 
zionale in cui la A ha significato, coincide con essa, ma può mantenere un 
significato anche in un campo funzionale in cui A non ne abbia alcuno, 
in guisa che in questo nuovo campo la B può dirsi la continuazione di A: 
si presenta così nel calcolo funzionale un concetto in perfetto riscontro 
