i 
zero, cioé che siano nulli tutti i suoi coefficienti, diremo che F è divi- 
sibile per G, e scriveremo 
F=0 (mod. G). 
Si dirà ancora che G è divisore di F, e che ZH è il quoziente esatto della 
divisione di F per G. 
Stabilito il concetto di divisibilità nelle forme lineari alle differenze, si 
possono enunciare immediatamente le seguenti proposizioni : 
a) Se F è divisibile per G, e G è divisibile per XK, anche F sarà 
divisibile per K. 
b) Se due forme F, F' sone divisibili per G, lo é anche la loro 
somma, poiché se è F=ZG, F'= H'G, sarà ($ 2) F+F'=(H+ HG. 
c) Se le forme Y, F' divise rispettivamente per G, G', danno il me- 
desimo quoziente esatto, la somma delle prime è divisibile per la somma 
delle seconde; poiché da F= HG, F'= HG', risulta immediatamente 
F+F'=HG+G'). 
d) Se due forme sono divisibili per una terza, anche il resto della 
loro divisione sarà divisibile per questa terza, e reciprocamente. Da ciò 
una regola perfettamente analoga a quella per la ricerca del massimo co- 
mune divisore di polinomî razionali, per trovare il massimo comune di- 
visore di due forme date, cioè la forma di massimo ordine che le divide 
ambedue. Quando l’operazione conduce ad un resto di ordine zero, le 
forme si dicono prime fra loro o irriducibili fra loro. 
6. Riducibilità. I coefficienti di una data forma F siano funzioni ap- 
partenenti ad una determinata classe Q. Quando la forma non avrà divi- 
sori i cui coefficienti appartengano alla classe Q, essa si dirà irriducibile 
in quella classe. È chiaro che se si ammettono divisori i cui coefficienti 
possano appartenere ad una classe 2' più estesa di 2, una forma irridu- 
cibile in Q, può essere riducibile in Q'. Si viene cosi a presentare un con- 
cetto perfettamente analogo a quello dei « campi di razionalità » nell’ al- 
gebra ordinaria. 
7. Integrali di una forma. Una forma dell’ordine r si dirà identica- 
mente nulla quando ne sono nulli tutti i coefficienti 404, 0.2)... dre. Se 
una forma non è identicamente nulla, esistono però speciali determinazioni 
per la funzione f per le quali F(f) si annulla. Queste determinazioni sono 
in numero infinito, ma fra r+1 di esse passa una relazione lineare a 
coefficienti costanti, intendendosi con costante sia una quantità indipen- 
dente da x, sia una quantità che non muta quando « si muta in a +1. 
Le funzioni f che annullano F(f) si diranno integrali di F; r integrali 
linearmente indipendenti si diranno formare un sistema fondamentale. Se 
