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un polinomio razionale intero in @ per un binomio a —a ®. La condi- 
zione necessaria e sufficiente perchè una forma F di ordine qualunque r 
sia divisibile per una forma del prim’ordine E, é che sia 4,,=0. Ora 
l’ultima delle (2) ci dimostra che 4,., é nullo quando l'integrale y, di E 
è pure integrale di F, e reciprocamente, come si vede moltiplicandone 
ambo i membri per y,; si ritrova così per altra via un risultato già con- 
tenuto nella proposizione generale del $ 8. 
Si avverta che 4,., è, all’infuori del fattore y,, il risultato della sosti- 
tuzione dell’integrale y, di E al posto della funzione arbitraria f in F; 
indicheremo il risultato di questa sostituzione con gx. 
10. integrali comuni a più forme. Dal teorema del $ 9 risulta che 
se due forme hanno un fattore comune dell’ ordine s, esse hanno anche s 
integrali linearmente indipendenti a comune, e reciprocamente. La condi- 
zione che deve sussistere fra i coefficienti di due forme date perché esse 
ammettano un fattore comune, o ciò che è lo stesso, un integrale comune, 
si può trovare con metodi perfettamente analoghi a quelli che in algebra 
servono ad ottenere il risultante di due forme binarie; ad esempio il me- 
todo di Sylvester. Così se XF, F' seno due forme degli ordini r ed 7, 
basterà eseguire sulla prima, uguagliata a zero, le operazioni 0°, 0, 0°,...0”71, 
sulle seconde, pure uguagliate a zero, le operazioni 0°, 0, @°,...0*7!, ed 
eliminare fra le e47" ‘equazioni così ottenute le fp RE 
il risultato dell’ eliminazione ha per primo membro un determinante facile 
a formarsi coi coefficienti delle due forme, ed il cui annullarsi è condi- 
(*© La regola espressa dalle formule (2) si potrebbe chiamare « Regola di Ruffini genera- 
lizzata. » Per ogni funzione speciale a, che si assuma come coefficiente nella forma di prim’ or- 
dine E, si avrà una regola speciale. Ad esempio, se la a, si fa costante e uguale ad a, si vede 
immediatamente che le (2) vengono a prendere precisamente la forma che si presenta nell’ ordi- 
naria regola di Ruffini, cui si ritorna senz’ altro se nelle E, X, la funzione arbitraria fx si 
prende uguale a #”. Se la 4, si fa uguale ad 4+- x, le formule (1) dànno 
die =A+L+P—1+C15 
Ma A+L+P—-2+ 62% 
rea a+g+1+ Cr ne 
ed hanno la forma che il prof. Capelli (L’Analisi algebrica e l’ interpretazione fattoriale delle 
potenze, Giornale di Matematiche, T. XXXX) ha ottenuto determinando il quoziente di un polino- 
mio, ordinato per i fattoriali di # anzichè per le potenze, diviso per il binomio = —@, quando il 
quoziente pure sia ordinato secondo i fattoriali. Si torna senz’altro al problema trattato dal 
prof. Capelli ponendo in E, 7, al posto della funzione arbitraria /x, la funzione (©) definita da 
2(@+1) =(2+ e)3(0d; 
con questa sostituzione la E si riduce a «((s— a), e la F, all'infuori del fattore #(, si riduce ad 
un polinomio ordinato per i fattoriali di 4. 
