MIE OO 
zione necessaria e sufficiente per l’esistenza di un integrale comune alle 
due forme. 
11. Scomposizione di una forma in fattori di primo ordine. Siano 
al, a, ...a9, r integrali linearmente indipendenti della forma F di 
(1) 
i a 
ordine r. Posto E(f) =fr+1t fe, la forma E, ammette al! come 
(715) 
integrale e perciò Y ammette E, come fattore : sia 
3IiHSEN 
-Sostituendo in questa eguaglianza l’integrale a di F alla funzione arbi- 
traria, risulterà che E,(a®) è un integrale di H,; e se si pone 
E (a&, 
E, ehe E(ad): 9 
H, ammetterà E, come fattore: si potrà quindi porre 
EI 
Qui si vedrà che E,E(a®) é un integrale di 7,, e così via; continuando 
in questa guisa, sì giungerà per Y ad una espressione della forma 
ie KB eHE, , 
cioé alla scomposizione di F in un prodotto di r fattori di prim’ordine, i 
quali si ottengono con procedimento ricorrente per mezzo degli r integrali 
indipendenti di F. Evidentemente la scomposizione si può effettuare in 
diversi modi, a seconda della successione degli integrali adoperati. 
Abbiasi inversamente una forma Z di ordine r data sotto forma di 
prodotto di r forme di prim’ordine: la integrazione completa dell’ equa- 
zione F=0 non solo, ma dell’equazione non omogenea Y= @z, dove P, 
è una funzione data, si può ricondurre all'integrazione di sole equazioni 
del prim’ ordine. Suppongasi la cosa dimostrata per un prodotto di r —1 
laltoric sati ER Exe si conswderi H_,E-G. Si risolva l’e- 
quazione E,= @:, la quale ci darà un integrale +, con una costante ar- 
bitraria; poi si ponga G= w,, che da un integrale x, con r costanti ar- 
bitrarie (r —1 provenienti dall’integrazione ed una contenuta in ,) otte- 
nibile coll’integrazione di sole equazioni del prim’ordine ; verrà F(x,)=Pg. 
12. Determinazione dei fattori di prim’ ordine. Nel $ precedente 
abbiamo dato un metodo ricorrente per determinare le forme di prim’ or- 
Serie V. — Tom V. 13 
Dei 
i 
