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risulta la funzione omogenea di grado m—1 di due variabili @,, @z41; di 
cui tutti i coefficienti sono uguali all’ unità. In generale, la stessa rela- 
zione (4) permette di concludere con facilità che 9g? è il polinomio razio- 
nale intero omogeneo di grado r in d,, ade nero CO Ubi 
coefficienti uguali all’ unità. Simili polinomî, che sono stati incontrati in 
altre ricerche, sono detti funzioni omogenee complete, o funzioni simmetri- 
che complete * del grado r di m—r lettere; dalla definizione risulta che, 
oltre all’ equazione (4), essi soddisfano ancora alla 
(6) dee n i a 
Da questa segue la relazione fra gli elementi di una stessa verticale : 
mn 
ja (i) 
(7) SI = Mas zicrpiQira- 
i=r—-1l 
15. Sviluppo di E”. Indicando con E la forma di prim’ ordine 0— a,, 
si domanda lo sviluppo della potenza £” per un valore intero positivo 
di m. Ponendo 
Ki —_ 0” — AMM@nTI 4 I (— 1) 40m) 
m.,X ? 
basta sostituire alla funzione arbitraria cui é applicata E” la forma 
E=0—a, per ottenere 
En+! == @un+1 nea (402) sa dx 4-m)0" + (460 Ere, DAD a EOS È 
lix 
(** Queste funzioni sono state considerate dal Wronsky,che le ha chiamate funzioni Aleph. 
Il Trudi (Intorno ad un determinante più generale ece., Giornale di Matematiche, T. II. pag. 152, 
1864) ha sviluppato varie delle proprietà di queste interessanti funzioni; egli denota con (a, db, ...0)” 
la funzione omogenea completa di grado r degli 7 elementi a, 5, .../. Fra queste proprietà è no- 
tevole quella espressa dalla formula 
(2) Sn ZIO O e al, siae 
che si dedurrebbe facilmente dalla nostra (5). Il prof. Peano (Genocchi-Peano, Calcolo diffe- 
renziale, Torino, Bocca, 1884) fa a pag. xxI l'osservazione che le funzioni omogenee complete 
non sono altro che le funzioni interpolari delle potenze intere positive di x; ciò risulta subito 
dalla (2). Da ciò, poichè le nostre g( sono le funzioni interpolari di 2”, e dall'ultima formula del 
$ 84 della citata opera (pag. 91), risulta per le dette gl”) la espressione : 
r 
OSS: 
® mIa eae e —en#y 
È leztim Axdz+i- Ax41) -«(de+i— dx+r) 
che dovremo richiamare in seguito. 
