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in questo caso, diamo una determinazione speciale alla funzione arbi- 
traria f, delle formule (8), (9), ecc., ed otterremo altrettante identità. Fac- 
ciamo in particolare f, = <,, integrale dell’ equazione 
Bsa1r=(F +), 
essendo « una quantità arbitraria, e sostituiamo nelle 0 e nella E=0 — x; 
verrà 
E" = a".z,, 0 =(+a(+a—-1)...(c+ta+r—- 1), 
ovvero, usando la notazione proposta da Capelli ‘#1 per le potenze fat- 
toriali, 0=(c* + @)<,. Ponendo questi risultati nella formula (8), avremo 
are ento ia Tao (ili 
dove le g,, sono le espressioni (14); facendo poi nella formula trovata 
e = 0, si ha la espressione delle potenze di una variabile in funzione dei 
fattoriali, sotto la forma data dal Capelli nella formula (12) del $ VI del 
citato lavoro. 
III. 
21. Preliminari. Fin qui abbiamo studiato le forme lineari alle diffe- 
renze d’ ordine finito, cioé le espressioni funzionali contenenti un numero 
finito di potenze intere positive di 0. Ma per le applicazioni del calcolo 
alle differenze non hanno minore importanza espressioni contenenti po- 
tenze intere positive di 9 in numero infinito, e che chiameremo serie di 
potenze di 0. Tali serie si sono già presentate in alcuni dei casi più sem- 
plici *#*, ma sono state considerate più come un modo conciso di rap- 
presentazione simbolica che come atte a fornire l’ elemento di una vera teo- 
ria: noi quì ci proponiamo di mostrare come, assoggettando a convenienti 
limitazioni le funzioni su cui si opera, queste serie siano suscettibili di essere 
prese a fondamento di un calcolo perfettamente rigoroso. Siccome il nostro 
scopo, nella presente Memoria, é piuttosto di mostrare l’ efficacia nell’Analisi 
delle serie di potenze di @ che di svolgerne per disteso la teoria che richiede- 
(* Memoria citata. 
(**) V. p. es. Cesàro, Analisi algebrica, pag. 465. 
