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rebbe ben altri sviluppi, cosi noi ci limiteremo, in ciò che segue, a dare delle 
condizioni sufficienti per la validità delle espressioni che troveremo, fondan- 
doci per lo più su quel criterio di convergenza delle serie che risulta dalla 
considerazione del rapporto di un termine al precedente: ciò basterà a 
provare la possibilità di effettivamente adoperare il nuovo calcolo, ma fon- 
dandosi su criteri di convergenza meno restrittivi, se ne potrebbe facil- 
mente ampliare il campo di validità. 
Noi parleremo in ciò che segue di funzioni f, ad un sol valore, ma 
affatto libere, di una variabile reale o complessa @; in modo che s’ intenderà 
che per ogni punto (valore) di 2 preso in un campo conveniente sia dato il 
corrispondente valore di f.. Intenderemo inoltre che queste funzioni siano 
generalmente finite, cioè che i punti in cui esse possono essere o nulle, o 
infinite costituiscano un insieme di prima specie nel senso di Cantor, 
cioé il cui insieme derivato consta di un numero finito di punti. Indicando 
con X, un campo di valori di x, rappresenteremo con X, il campo che 
se ne deduce colla traslazione di & in &+» (n=1,2,3,.....); X, essendo 
tale che due dei campi non abbiano parte comune o tutt’ al più abbiano 
in comune una parte del contorno: nel quale caso, se è comune una parte 
del contorrio di X, ed X,,;, su di essa pel valore della funzione si assu- 
mera quello in X,. Il campo X, può anche ridursi ad un sol punto 4; 
s’ intende che in tal caso la f, deve essere finita in ,. Chiameremo infine X 
il 7camportformatodallMipsiemedelteam pix ARE XE 
22. Serie di potenze di 0. Sia 4,5, 0,2) -«- 4.) +... un sistema di fun- 
zioni ad un valore e finite entro X,; chiameremo serie di potenze di @ 
l’ operazione rappresentata simbolicamente da 
1 dos + 04.50 + 4,40 +-+ a0°—.... 
Vv ) 
cioè il cui effetto su di una funzione /, data arbitrariamente in X è rap- 
presentato da I 
“ 
(2) e COSI e Ur. f24-2 ie ente CIO pre CDR 
Diremo che la .f, appartiene al campo funzionale di convergenza della 
serie (1) quando la (2) risulta generalmente (cioè al più escluso un insieme 
di punti di prima specie) convergente assolutamente per i valori di & 
entro X,; la somma della serie verrà ad essere una funzione di « gene- 
ralmente finita in X,- 
Indicando con A l operazione funzionale rappresentata da (1), questa 
operazione è manifestamente distributiva; se cioé fe $ sono due funzioni 
appartenenti al campo funzionale di convergenza della (1), sì avrà 
A(S+ P)= A(S) + A(9). 
