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Ammetteremo infine che gli zeri delle funzioni @,.x, Ge; Wa; > 
costituiscono un insieme di punti di prima specie. 
23. Teoremi sulla convergenza delle serie di potenze di 0. a) « Per 
« ogni serie di potenze di 0, esiste sempre un campo di convergenza. » 
Si prenda infatti una successione di numeri positivi arbitrarî &, €» 
£,,.+-€,,..- tali che la serie Ze, risulti convergente; indi si determini una fun- 
200 
zione f, dei punti di X che sia uguale ad fo entro ad £. entro VOR 
0.2 Aya 
evidentemente per una tale f, la serie (2) converge assolutamente (ed in 
egual grado) per i valori di @ entro X,, cioé la.f, appartiene al campo di 
convergenza della (1). 
b) « Se la serie 
Va,44,(0) ? 
v=0 
dove 4(@)}..24,(@), .. étuna successione! di funzioni, finite entro. X,, 
« è assolutamente convergente, e se la funzione f, è tale che per ogni & 
« di X, Sia 
|Zeuyl S IE; |A,(@)| 7 
« da un indice » in avanti #, essendo y, una funzione positiva e general- 
« mente finita di a in X,, la fx apparterrà al campo funzionale di con- 
« vergenza della Za,.,0*. » 
Risulta da ciò che se /, è una funzione generalmente finita di gin X, 
i cui valori per ogni punto @ di X, sono soggetti alla condizione 
VOS 
Jay 
<; 
essendo 7 un numero positivo minor d’ uno, essa apparterrà al campo 
di convergenza della 0”. 
c) Ne risulta pure la seguente proposizione, la cui dimostrazione è 
immediata: 
« Data la serie (1), se esistono due numeri positivi g ed m ed una 
« funzione .f (x) generalmente finita tali che per » > m si abbia per 
« ogni @ di X, 
| ya f(0 + v)| <9 ? 
(*) Trattandosi di convergenza di serie, quando una condizione si suppone verificata da un 
indice » in avanti, si potrà senza restrizione supporre addirittura v= 0. 
