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« ogni funzione f, tale che sia (7 positivo e minor d’ uno) 
Se+ 
(9) Vagli 
fe+tv+1) 
<" fe+) 
« apparterrà al campo di convergenza di (1) © ». 
d) « Essendo f (a) una funzione tale che la serie (2) converga in 
« ugual grado pei valori di a in X,, Ogni funzione f, tale che sia soddi- 
« sfatta la condizione (3) appartiene al campo di convergenza della (1) ». 
Essendo infatti g un numero positivo arbitrario, si potrà determinare 
un numero positivo m tale che per ogni n> m sia, per ogni x del campo X, : 
Varaf(@+v)|<%, 
Van—1l 
Vayaf@+0)|<3, 
onde risulta 
| An.xf (€ SF n) | S 97 
talché si ricade sulla condizione del teorema precedente. In particolare, le 
funzione 2” f. (x), sotto la condizione che sia |e| < 1, appartiene al campo 
di convergenza di (1). 
Risulta ancora da ciò che determinata una funzione fi («) finita in X, 
tale che la serie (2) converga in ugual grado per essa, i coefficienti della 
serie (1) soddisfaranno alla condizione 
9 
el SR +] 
essendo g un numero positivo finito. 
24. Convergenza uniforme. Si consideri una classe C di funzioni, o 
come diremo, un campo funzionale C, tale che ogni funzione della classe 
(0 appartenente al campo C) sia finita in X e renda convergente in ugual 
grado in X, la serie (2). Preso un numero g positivo, si potrà dunque, per 
ogni funzione f, del campo, trovare un numero positivo m tale che per 
n= m sia per ogni « di X, 
<9 
Da,.efe4-y 
Van 
(4) 
ma variando la funzione f, nel campo, avverrà generalmente che varierà 
(*.Cfr. col noto teorema di Cauchy sulla convergenza delle serie di potenze. 
