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il numero m pel quale è soddisfatta la condizione precedente, in guisa 
che potrà non esistere un numero m tale che per n > m la (4) sia sod- 
difatta per ogni funzione appartenente a C. Quando però un tal numero m 
esiste, in modo che per ogni n > m e per ogni f, di C la (4) venga ve- 
rificata, si dirà che la serie (1) é convergente uniformemente nel campo 
funzionale C. 
Ecco un esempio di una simile convergenza uniforme. Sia f, (2) una 
funzione finita in X, che renda la (2) convergente in ugual grado; sia, fx 
una funzione che soddisfi alla condizione (3) e tale che il limite superiore 
dei valori di |fx:f (®)] si mantenga entro X, inferiore ad un numero po- 
sitivo assegnabile M. Quest’ ultima condizione, insieme alla (3), definisce 
un campo funzionale ed una semplicissima verifica dimostra la convergenza 
uniforme della serie (1) per tutte le funzioni f,, appartenenti a questo campo. 
25. Osservazioni. a) Indicando ancora con A l'operazione funzionale 
rappresentata da (1), la serie Xa,.,_,:0"*! rappresenterà il risultato del- 
l’ operazione 0 applicata ad A, purché la f, appartenga al campo di con- 
vergenza della detta serie. 
Si 
b) Essendo /, una funzione tale che —" ammetta un limite quando a 
va all’ infinito nella direzione positiva dell’ asse reale, una serie (1) può 
essere tale da non risultare mai convergente se quel limite è differente da 
zero. Tale sarebbe, per esempio, la serie 2210”. Si vede però facilmente che 
la considerazione di una tale serie può sempre ricondursi a quella di un’altra 
della medesima forma, il cui campo di convergenza contiene anche funzioni 
per le quali il limite anzidetto può essere differente da zero. Infatti, per 
il $ 23, a) noi possiamo determinare una funzione y, positiva in X, ©@ 
tale che per essa la serie (1) sia convergente assolutamente ed in ugual 
grado, ed essendo c un numero positivo assegnabile, avremo ($ 23, d) 
(CRRE= Cia 
7x4-y 
La considerazione della serie (1) si riconduce allora a quella dell’altra 
xe ro(2), 
Je 
la quale, ove si ponga = = $,, ammette un campo di convergenza cui 
appartengono tutte le funzioni P, tali che sia 
lim Pet: Ro, Mal 
la « tendendo all’ co nella direzione dell’ asse reale. 
