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nm; si abbia in tutto l’intervallo 
va) — un()| _ 9; 
la e(x) si dirà allora funzione limite della successione a), e le 
(19) UD UA) 0 
al crescere di n, si diranno, secondo l’uso, convergenti in egual grado 
verso la v(a). 
2. La condizione necessaria e sufficiente affinchè una successione data 
di funzioni 
(a) MO OTT 
abbia una funzione limite, nel senso detto sopra, é che, preso un numero 
positivo o piccolo a piacere, si possa sempre determinare un numero intero 
corrispondente m; tale che per ogni x, nell’intervallo a...b, si abbia qua- 
lunque sia p intero positivo, — 
| Umo(2) 3 Uras) i O . 
La dimostrazione di questa proposizione è in tutto simile a quella ben 
nota che si dà per la proposizione analoga nel caso di una successione 
di numeri determinati 
a a 
i E 
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e sarebbe quindi superfluo il riprodurla qui. 
3. Suppongasi che le funzioni (a) della successione a) siano tutte 
continue, e contenute tra due limiti finiti L e /, e vediamo che cosa di- 
viene allora la condizione dell’ enunciato precedente. 
Se, preso o numero positivo piccolo a piacere, esiste pot sempre un nu- 
mero positivo tale che in ogni tratto di ampiezza minore di è, infinite 
funzioni u(x), u(x),.... facciano un’oscillazione minore di o, si dird che 
esse sono egualmente continue. 
Dimostreremo che esistenza di una funzione continua che sia fun- 
zione limite per la successione a), porta la equale continuità nelle infinite 
funzioni appartenenti alla medesima e viceversa. 
Soppongasi l’esistenza della funzione limite v(a) per le funzioni 
a) COLORI, 
