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della successione. Preso o a piacere, sia determinato il corrispondente nu- 
mero m;. La u»_(®) essendo continua, in ogni tratto minore di un numero 
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assegnabile d farà un’oscillazione che è minore di o e ognuna delle 
Cn) Ur, (0) 0 00. Ums4-D > CRIORORO 
in ogni tratto minore dello stesso è farà un’ oscillazione minore di 30. Le 
funzioni 
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antecedenti alla ,_(x), sono in numero finito e per esse si può trovare 
un numero d, tale che in ogni tratto minore di d, tutte oscillino per meno 
di 30 e così sì avrà che in ogni tratto minore del più piccolo dei due 
numeri d e d,, tutte quante le funzioni 
(CE) RU (A) PEA, (ETTI 
oscillano per meno di 30; ma un ragionamento simile può farsi per ogni 
numero o : rimane dunque provata la eguale continuità di tutte le prece- 
denti funzioni. 
Reciprocamente, presupponiamo, che le funzioni 
a) DC) WU) 0 
siano egualmente continue e facciamo vedere che per queste esiste almeno 
una funzione ente-limite, cioè, esiste una funzione continua alla quale con- 
verge una successione contenuta in quella. È 
Osserviamo anzitutto che se f(x) é una funzione continua, dal fatto 
che essendo o il solito numero, esiste un numero positivo d tale che in 
ogni tratto minore di è la f(@) oscilla per meno di o, si deduce che la 
f(&) può fare un oscillazione maggiore di o, solamente in un tratto che è 
maggiore di d. Per conseguenza, le funzioni 
MD UL We) 
che sono presupposte egualmente continue faranno un’ oscillazione mag- 
giore di o, solamente in un tratto che sia maggiore di È. 
Ciò premesso, si consideri il valore assoluto |u,(2) — «,(@)| della diffe- 
renza tra due qualunque di quelle funzioni; in qualche punto @ esso po- 
trà essere minore di o, in altri eguale o maggiore. 
