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Scegliamo fra le date, quelle funzioni 
8) SC) OOO 
tali che la differenza 
| us,(®) — us(&)| 
tra due qualunque di esse è, in qualche punto x, maggiore o eguale a 0, 
mentre negli altri punti 2 è minore, e mostriamo che la successione #8) 
contiene solo un numero finito di funzioni. 
Le 8) sono per ipotesi egualmente continue: ognuna di esse può dun- 
EEA . o; 
que fare un’oscillazione maggiore di - solamente se x percorre un tratto 
di valori, la cui ampiezza superi un numero assegnabile d': quindi se & 
e (un punto in cui é 
us, (2) — us(2)| 0 
vi sarà tutto un tratto almeno eguale a, d', nel quale, in ogni punto «, 
le due ws,(@), (x) sono discoste per una quantità che è maggiore o 
O 
eguale a DE 
Le funzioni 6) siano, se é possibile, in numero infinito. 
Le 
Us — Us,|, |us — Us], ce. 
Rn lo) 
sono, ognuna in qualche tratto d', maggiori o eguali sempre a 4; per un 
noto teorema ‘* vi é un punto «, che appartiene a infiniti di quei tratti d': 
in esso 2, la s(@) è dunque discosta da infinite delle funzioni 8) per più 
2 
dilCa6 quindi in tutto un intorno di ampiezza d'", del punto 4, lo sarà 
iO) i 
per più di 1° 
Queste infinite funzioni, cosi discoste dalla ws(@), siano le 
B') UU 
Delle differenze 
Us — Ut 3 Us Ut, «lelioto 
ve ne saranno infinite di uno stesso segno : cioé, infinite delle 8') saranno 
al di sopra della ws, ovvero al di sotto #*. 
(*® Vedi mia nota: Un teorema intorno alla serie di funzioni nei Rendiconti dei Lincei per 
l’anno 1885; e d’altronde, nel caso presente, la cosa è evidente. 
(** Non sì esclude che ve ne possano essere infinite al di sopra, e infinite al di sotto. 
