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in uno almeno di essi cadono interamente infinite funzioni appartenenti 
alla successione data: se ciò non fosse, ve ne sarebbero infinite discoste 
da tutte le 8) per più di o in qualche punto, il che non può essere. 
Rimane cosi provato che nella successione data a), si trova sempre 
un gruppo di infinite funzioni 
a) Um(0) , Um,(9) gio o ao 
le quali l’una dall’altra, differiscono in ogni punto @ per meno di 20. 
Con ragionamento simile si prova che in questo gruppo a'), si trova 
un sottogruppo a') di funzioni tali che, due a due, differiscono, in ogni 
punto «, per meno di d°. 
Nel gruppo a") poi un sottogruppo «4''), di funzioni, che l’una dall’ altra 
differiscono per meno di o? in ogni punto. 
Si può così continuare indefinitamente. 
Indichi w;,(@) una funzione appartenente al gruppo a); (x) una ap- 
partenente al gruppo a'); w;,(0) ad a") etc. 4; la successione delle funzioni 
(a) 0 UAC) 
essendo preso o < 1, soddisfa evidentemente alla condizione del n.° 2. 
Questa successione (a) converge dunque in egual grado ad una unica 
funzione-limite v(@), che si può anche riguardare come la somma. della 
serie 
usr(0e) + (u(a) — ui (e)) + (ur (a) — w(O) + ---- 
È dunque stabilito, che la eguale continuità, presupposta in una suc- 
cessione di funzioni, porta che da questa si possa sempre estrarne un’altra 
come la (a), che tende ad un’unica funzione limite. #® 
È manifesto che di successioni come la (a) ne possono esistere più di 
una e anche infinite. ì 
4. Si consideri ora più generalmente una varietà di funzioni, definite 
con una certa legge, nell'intervallo a...d, e contenute tutte tra due nu- 
meri Lfinivi Ered. 
Si indichi con «(@) una qualunque di esse e la varietà con G=/u(2)}. 
(* Si potrebbe ad es. prendere in ciascun gruppo, la funzione col più piccolo indice. 
(**) Il procedimento con cui siamo pervenuti qui a questa proposizione, è affatto diverso da 
quello adoperato dal prof. Ascoli nella sua memoria: Sulle curve limiti di una varietà data di 
curve - nei Lincei 1884. 
