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Due funzioni p(a) e (x) tali che si abbia sempre, cioé per tutti gli & 
tra a e d 
Pe) < (2) < (2) 
determinano un intorno della funzione v(a). 
Se, prese comunque le due $@(x) e (x) che soddisfino alla relazione 
precedente, esistono infinite funzioni (2) appartenenti alla varietà G, tali 
che 
Pc) <a) < WU), 
si dira che la v(a) è una funzione limite, un ente-limite della varietà me- 
desima, v(x) potendo anche non appartenere alla varietà. 
Ora si vede subito quand’ é che una varietà G ammette almeno una 
funzione limite secondo la definizione ora posta. 
Basterà che nella varietà G esista una successione di funzioni equal- 
mente continue. 
Poiché, se questo é, per quanto s’è provato, esisterà una funzione con- 
tinua, alla quale infinite funzioni, appartenenti a tale successione, conver- 
gono in egual grado; é manifesto che questa funzione è, per la varieta, 
un ente-limite. 
RAR 
5. Per una varietà di funzioni G=|{u(x)} o di curve, se é egualmente 
continua ed é contenuta in un campo finito, esiste sempre una funzione che 
ne é il limite superiore: cioé : esiste una funzione U(x) CONTINUA Yale che é 
in ogni punto Xx 
U(a)> u(a) 
u(x) essendo una qualunque delle funzioni della varietà e parimente ne 
e 
esiste una V(x) tale che è sempre 
ua) Va), 
e che si dira il limite inferiore della varieta. 
Proviamo l’esistenza del limite superiore. 
