Ro = 
Se tra le funzioni della varietà ve ne é una, che, in nessun punto 2, é 
superata dalle altre, allora sarà dessa il limite superiore. Ma pongasi che 
non vi sia. 
In ogni punto « nell’intervallo @...d, si immagini elevata una per- 
pendicolare all’asse x: su essa giace il gruppo dei punti che sono le in- 
tersezioni delle curve della varietà colla perpendicolare medesima: un tal 
gruppo di punti ammette un limite superiore a distanza finita. Ad ogni 
punto @ corrispondendo così un tal limite superiore, risulta con ciò defi- 
nita una funzione in a...d, che mostreremo essere continua. 
Sia y, il valore di essa corrispondente a &,. Se o è il solito numero 
piccolo a piacere, esiste un tratto di ampiezza d, dentro cui ognuna delle 
funzioni della varietà oscilla per meno di o. Ciò accadrà anche nel tratto 
O, il cui punto di mezzo è &,: i valori yg + del limite superiore, cor- 
rispondenti ai punti a, +4 di questo tratto, cadranno dunque tutti fra 
Y+o ey 9; il che prova quanto si è detto. 
Analogamente mostrasi pel limite inferiore. 
La funzione limite superiore o inferiore può non essere una funzione 
limite e può non appartenere alla varietà data. 
JU0k 
6. Sia data una varietà infinita di funzioni continue : essa sara egual- 
mente continua, se il rapporto incrementale 
u(a,) — ua.) 
HT La 
di una qualunque u(x) di esse é sempre, cioé per tutti i valori di x, e x, 
possibili nell’ intervallo a...b, compreso tra due numeri determinati e fi- 
nitt | e L. 
Sia |L| il maggiore dei due numeri |/| e | L|. 
Indichi & un tratto arbitrario nell’intervallo a...b: 2, e 4, i puntiidi 
massimo e di minimo della «(@) nel tratto £: si avrà 
LEO 
ae, Gs 
