quindi 
u(a,) U(2,) D. IL] 
|&— al 
donde 
ue) ua) <|c,— &,||L| 
e anche 
Dun < h |L| 
indicando D.,,, l'oscillazione della «(x) nel tratto A. 
Poiché ciò vale per qualunque funzione «(a) della varietà, cosi rimane 
provato che preso o piccolo a piacere, in un tratto qualsiasi 4’ la cui am- 
piezza sia minore di fanno tutte un’oscillazione inferiore a o. 
O 
DAN 
Come é noto ‘©, i valori che il rapporto incrementale 
uL+ h)— ue) 
h 
di una funzione «(a) per tutti i possibili valori di @ e di A, nell’ intervallo 
A...b può assumere, rimangono sempre compresi tra i due limiti superiore 
e inferiore in a...b degli estremi oscillatori del rapporto medesimo. Per 
conseguenza, se M., e m, rappresentano questi limiti, superiore e inferiore 
per una funzione (2) della varietà, i due numeri / e L dovranno esser 
tali che si abbia 
Z = Mu S M, < L 
qualunque sia la (0). ** 
7. Seguendo le denominazioni di Cantor, una varietà di funzioni 0 
di curve si dird chiusa, quando ogni ente-limite della varietà appartiene 
alla medesima. i 
(9 Vedi Dini, Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, pag. 190. 
(**) Valendosi di questa proposizione si arreca, comejmostreremo in altro luogo, una notevole 
semplificazione nelle dimostrazioni dell’ esistenza degl iintegrali nelle equazioni differenziali ordi- 
narie. 
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