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IV. 
8. Una quantità che ha un valore determinato per ciascuno degli enti 
che costituiscono una certa varietà, la diremo funzione degli enti medesimi. 
Consideriamo una varietà di funzioni egualmente continua e chiusa e 
mostriamo che per una funzione degli enti di essa vale il noto teorema 
di Wejerstrass: vi é nella varietà almeno una curva, in ogni cui in- 
torno il limite superiore dei valori della funzione é quello che si ha per 
l intera varietà. 
Sia Mo) Wo Mo 
una successione di numeri positivi indefinitamente e costantemente decre- 
scenti, e A il limite superiore di che si tratta. 
Se vi é nella varietà una curva isolata, cioé, che non è ente-limite, 
per la quale il valore della funzione è A, allora sarà dessa la curva in 
ogni cui intorno il limite superiore è A. 
Non vi sia una tale curva. Esisterà almeno un valore A,, tale che sia 
AZ>A>A— 7,, che la funzione assume in qualche curva della varietà, 
si indichi tale curva con «(x). Parimente esiste un valore A, tale che 
sia A>A,>A— 7,, che la funzione prende pure in qualche ente: sia 
questo v,(x) e così si continui. 
Il gruppo delle curve 
(0) RU 0) 
essendo esse egualmente continue, ammette almeno una curva limite: si 
indichi una di queste con v(x): si potrà sempre estrarre dal gruppo pre- 
cedente un sottogruppo 
COMUN 
le quali convergano in egual grado alla (a). Trattandosi di funzioni tutte 
continue, la cosa qui potrà farsi osservando che la v(@) — u(@) raggiunge 
il suo massimo in qualche punto «, e scegliendo quindi nel gruppo 
UD) VO) 05 
(*) Si può anche dire: siano A,, A;,.... dei numeri indefinitamente e costantemente crescenti - 
verso A. Si indichi con G, l'insieme di tutte quelle curve, per le quali la funzione ha un valore 
compreso fra A e A), gli estremi inclusi: con G, l'insieme di quelle, per le quali il valore è com- 
preso fra A e A, e così di seguito. — Si può allora considerare una successione qualsiasi di 
curve (x), U(£),.... prese una in ciascuna delle varietà G,, Gs,.... Una tale successione am- 
mette almeno una curva limite (x). 
