SMOG 
tra il massimo e il minimo, si dovrebbe porre per la varietà di curve 
anche qualche altra condizione. 
V. 
10. Facciamo un’applicazione. 
Definiamo la varietà G da considerarsi in questo modo : 
Essa si componga di tutte le PossIBILI funzioni u(x) soggette alle seguenti 
condizioni: per x=a e x=b assumano i valori rispettivamente assegnati 
A e B, abbiano le derivate prime e seconde, finite e continue in tutto Vlin- 
tervallo a...b sy queste ultime nulle almeno in un punto e i rapporti incre- 
mentali delle medesime siano sempre tutti compresi tra c e — c, essendo c 
un numero positivo fissato ad arbitrio. 
Che esistano infinite funzioni, che soddisfano a tutte le condizioni enun- 
ciate, é evidente: ricerchiamo le proprietà dell’ insieme da esse costituito. 
In virtù della proposizione del $ III si può dir subito : 
1.° L'insieme delle derivate seconde é egualmente continuo. 
Se si considera poi che l’oscillazione di una qualunque di tali derivate 
seconde in tutto a...5 è minore o eguale al più a 2(6b— a)c e che le me- 
desime hanno tutte, in qualche punto, il valore zero, si vede che sono 
anche tutte contenute tra 
2(6b — ale e — 2(6 — a)c 
cioé, tra limiti finiti. 
Da ciò, per l’osservazione stessa del $ III, deriva che: 
2.° È pure equalmente continuo l'insieme delle derivate prime. 
A cagione della formula 
u(e+h)—u'(a)= hu '(c+60h), 
l’oscillazione di una qualunque di esse w'(@)in a...ò è minore o eguale a 
(b— a).2(6b—a).c=2(6 — aùc. 
Se si nota poi che la derivata prima di ciascuna funzione assume, in 
qualche punto il valore 
B_- A 
b—-Ta” 
