VI. 
11. Aggiungiamo la seguente proprietà. 
Ogni funzione u(x), che fa parte della varietà G e per la quale il rap- 
porto incrementale 
u'(e+h)— u'(2) 
h 
é sempre compreso tra c' e —c', essendo c'< c, é certamente una funzione 
limite della varietà medesima. 
Sia 4, il punto in cui è «'‘(&)=0; si fissi un punto «, a destra. o a 
sinistra di 4,, a una distanza minore di 1 e sì consideri |’ espressione 
0,.(2) = (2 ua e)", cai a)". 
Essa é nulla in 4, e in &, e se m è un intero abbastanza grande, il mas- 
simo valore assoluto che essa e le sue prime tre derivate hanno nell’ in- 
tervallo &,...4,, Sara così piccolo come si vuole. 
Ora si consideri una funzione che tra a e «,, se è x; <4,, € nulla: 
ue Mete sualetat0,.()Eiucalia te RofeinuoyamenteMnullar 
Evidentemente ogni funzione 
u(a) & 0,2) 
soddisfa a tutte le condizioni richieste per far parte della varietà G; ben 
inteso, supposto che m abbia un valore tale da rendere la derivata terza 
di 0,.(2) minore e al più eguale, in valore assoluto, a c — c'. 
Di funzioni simili se ne possono dunque formare infinite giacenti in 
un intorno qualsivoglia della «(x), il che prova il teorema. 
\VJUG 
12. Prendiamo a considerare una particolare funzione degli enti che 
costituiscono la varietà G. 
Per ogni derivata seconda «'(a) di una qualunque funzione «(x) della 
varietà esiste il massimo dei suoi valori assoluti: massimo che essa «'"(@), 
funzione continua, raggiunge in qualche punto. Lo indicheremo con 
M|u''(2) 
Serie V. — Tomo V. 31 
