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“4. Si vede che non si può affatto concludere qui che la curva y= v(a) 
sia unica. 
Il sig. Mie, nel lavoro sopra citato, mostra che se ve ne sono due v(@) 
@ v,(x), per ogni punto compreso tra esse ne passa un’altra: dimodoché 
allora ve ne sono infinite. Le curve integrali che passano pel punto ar- 
bitrario (2,4) costituiscono cosi una varietà, che ammette un limite su- 
periore e un limite inferiore, che sono pure curve integrali. 
Tutte queste curve si riducono sicuramente ad una sola, quando si 
aggiunga la condizione ben nota, di Lipschitz. 
IV. 
5. Come si è annunciato, la dimostrazione precedente può anche es- 
sere fondata sulla proposizione 4* (par. I.) o piuttosto sulla proposizio- 
ne 6° (par. Il). 
Si consideri la varietà di tutte le poligonali dianzi descritte e delle loro 
‘curve limiti. 
Formeranno una varietà chiusa di funzioni egualmente continue. 
Indichi y= (x) una qualsiasi delle curve della varietà: con D*u(x), 0 
semplicemente D*«, l’estremo oscillatorio superiore destro ‘©’ della u(). 
Per ogni funzione u(x) esso ha per tutti i valori @ nell’ intervallo 
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un limite superiore finito, che dipende dalla « e che indicheremo con L,,. 
La quantità L,, avendo valore determinato per ogni (x) fissata, può 
riguardarsi come una funzione delle u, componenti la varieta. 
Fissata una delle «, vi è un punto « in ogni cui intorno il limite su- 
periore della D'u è L,: epperòo, in vicinanza comunque strettissima di 
un tal punto «, vi sarà un punto &' in cui é 
Li Ee<D'u(e')< L, 
per quanto piccolo sia preso e. 
Sia v(e) una funzione limite della varietà. 
Sia u(x), u(@),.... una successione qualsivoglia di curve della varietà 
tendenti al limite ©(@):@, il punto in ogni cui intorno il limite superiore 
della Do è ancora 23. 
(®) Dini — Fondamenti etc. etc. pag. 192 e seg. 
Serie V. — Tomo V. 
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