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Tra le %s, se ne saranno dunque infinite per ognuna delle quali în un 
tratto d' < è, € in ogni punto 
SL T 
Lug, > L, + D) ò 
Si prendano due punti x, e «, in tale tratto d': si avrebbe 
va) Aa) LT 
ita 2 
il che è contradditorio. 
Rimane con ciò provata la continuità di L, nella varietà delle (e). 
Si considerino ora le funzioni 
Lu=z/@,u), Lu=Sf(C,u,),.... 
corrispondenti alle 
u(x), UL), 
delle varietà. — Formeranno quelle pure una varietà chiusa di funzioni 
egualmente continue. — Di conseguenza, per la proposizione 6) del par. II, 
si conclude senz’ altro che la quantità 
per una qualche «(x) appartenente alla varietà raggiunge il suo minimo 
assoluto. 
Il quale minimo deve essere necessariamente zero, poichè, se e é un 
numero piccolo a piacere, esiste certo nella varietà una poligonale per la 
quale è in ogni punto & 
|D'ula)—f(@, ua) <<. 
Vi é dunque almeno una funzione v(@) per la quale, in ogni @, 
L,=f(&, (2) 
e cioè, essendo f(«, v(x)) continua. 
