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in modo analogo si può definire la derivata funzionale seconda o derivata 
della derivata, la derivata terza o derivata della derivata seconda, e così via. 
Ora, nella stessa guisa che nel calcolo ordinario si presentano pro- 
blemi nei quali si richiede di determinare una funzione mediante una 
certa sua proprietà espressa da un’equazione (equazione funzionale, ed in 
particolare equazione differenziale nei casi tanto frequenti in cui la pro- 
prietà consiste in un determinato legame fra la funzione da determinarsi 
ed una o più delle sue derivate) così, fra le molte questioni che si pre- 
sentano nel calcolo delle operazioni funzionali, vi sono quelle che hanno 
per oggetto la determinazione di una operazione mediante una sua pro- 
prietà, la quale possa essere rappresentata da un’equazione fra i simboli 
operatorî. Diremo simbolica una tale equazione, e differenziale simbolica 
quando in essa l’ operazione da determinare si trova legata con una o più 
delle sue derivate funzionali successive. La presente nota ha per oggetto 
di dare le proprietà e le soluzioni di aleune fra queste equazioni differen- 
ziali simboliche, e precisamente di quelle in cui il simbolo dell’ opera- 
zione da determinarsi e quelli delle sue derivate funzionali entrano linear- 
mente, e che perciò si chiameranno equazioni lineari. 
1. Fra le operazioni distributive, due delle più semplici sono quelle 
che si possono designare col nome di moltiplicazione e di sostituzione. 
Essendo a(x) una funzione data e (x) la funzione variabile, 1’ operazione 
distributiva che consiste nel moltiplicare P(x) per a(x) si può dire « ope- 
razione di moltiplicazione. » Essa é la più semplice fra le distributive. Vo- 
lendo istituire un parallelo fra il calcolo delle operazioni distributive da 
una parte, e la teoria delle funzioni dall’ altra (ed un tale riscontro si 
presenta spontaneo in più d’una circostanza) si può dire che l’ operazione 
di moltiplicazione per una funzione arbitraria è, nel calcolo funzionale di- 
stributivo, ciò che é l’ aggiunta di una costante arbitraria nella teoria delle 
funzioni. Cosi la derivata funzionale della moltiplicazione è lo zero; così 
due operazioni aventi la stessa derivata funzionale hanno per differenza 
un’ operazione di moltiplicazione; similmente, se M é un’operazione di 
moltiplicazione e A un’operazione qualunque, si ha, indicando coll’accento 
la derivazione funzionale : 
(MA) = MA', (AM) =A'M, 
e si potrebbe proseguire oltre nell’ analogia. 
2. L'operazione di sostituzione consiste nel porre, nella funzione qua- 
lunque g(), al posto di £ una funzione data a(a). Indicheremo questa ope- 
