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Infine, se si forma la derivata funzionale di .S,, sì trova immediatamente 
(3) 23 (a(2) vai X)Sa ’ 
equazione differenziale lineare simbolica del primo ordine. 
Paragonando: le proprietà (1), (2), (3) del simbolo S con quelle della 
funzione esponenziale e“, si può dire che fra le operazioni funzionali la 
SS occupa quel posto che tiene, fra le funzioni, la funzione esponenziale. 
8. Siano ancora A,, A4,,... An simboli di operazioni funzionali distri- 
butive. Quando esisteranno tali funzioni a,, &,,...@, che si abbia identica- 
mente, cioè per qualunque determinazione della funzione variabile @, sod- 
disfatta la relazione 
(4) aA,t dA, +: GnAn=0, 
diremo che fra le operazioni A,,... A, passa una relazione lineare o che 
esse sono legate fra loro linearmente : potremo anche dire che una delle 
operazioni si esprime linearmente mediante le altre. Quando non esistono 
funzioni @,,0,,...0n tali da soddisfare alla (4), le operazioni si diranno 
invece linearmente indipendenti. Se le operazioni sono due, l’ essere legate 
linearmente significa che una di esse è il prodotto dell’ altra per 1’ opera- 
zione di moltiplicazione. 
La condizione necessaria e sufficiente affinchè n operazioni A,, 4,;... Ax 
siano legate fra loro linearmente, é che sia nullo il determinante: 
è 
A=3 || A A MAL 
AM ANTI) AM! 
DI BIONDO © 
1 2 
dove con A', A",... A*7! si rappresentano le successive derivate funzionali 
della operazione A. È subito dimostrato che la condizione A=0 è neces- 
saria: basta prendere n —1 volte la derivata funzionale dell’equazione (4) 
ricordando che la derivata di a 4 è aA', ed eliminare le dj Age A 
le equazioni che cosi si ottengono. Per dimostrare poi che la condizione 
è sufficiente, poniamo dapprima il determinante A sotto all’ altra forma: 
AA Rodeo 
A,(1P) Atp) REA) 
° O ° ° 
ACT ACTOR 89) 
