— 668 — 
uguaglianze che ne risultano, si ottiene un determinante identicamente 
nullo, il quale è il determinante della forma 4 considerato al $ 3. costruito 
colle n +1 soluzioni in discorso. 
c) Ad un sistema di n soluzioni linearmente indipendenti dell’ equa- 
zione (6) si darà il nome di sistema fondamentale. Trovato che sia un tale 
sistema, ogni altro integrale si esprimera mediante una funzione lineare 
degl’integrali del sistema fondamentale, con coefficienti funzioni di @, e 
reciprocamente. 
Nel $ seguente si vedrà come per ogni equazione simbolica della for- 
ma (6) sia facile determinare, in ogni caso, un sistema fondamentale di 
soluzioni. 
5. Per dimostrare che ogni equazione (6) ammette un sistema fonda- 
mentale di soluzioni, ci occorre di considerare l'equazione algebrica di 
grado n in #, che diremo caratteristica della (6): 
(7) SfeE)=4ikB9OTARTOTEA + An se +An=0. 
Questa equazione ammetterà n radici 
EZU() Ue aA) 
che saranno funzioni di 2: e supponiamo dapprima che tali radici siano 
tutte funzioni diverse. Definiamo l'operazione ,S, relativa ad una qua- 
lunque a(x) di queste funzioni, mediante 
SP) = Pa) : 
dico che ,S, é una soluzione dell’equazione simbolica proposta. Infatti si 
è trovato più sopra ($ 2) che 
(8) S,= (00) — Sa, 
onde applicando nuovamente la derivazione funzionale : 
St = (ala) — iS, SE (ala) aa, 
e sostituendo nella (6) la S, al posto di A: 
(A (ala) a+ Aaa) — VT + + AS =0, 
la quale è soddisfatta per ogni determinazione della funzione variabile P, 
per essere a(x) radice dell’equazione f(<) = 0. 
Ma siccome alle a(x) possiamo attribuire le n determinazioni diverse 
