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Se per ogni valore s = 1 , 2 , . . . si ha sempre d s >d, d numero deter- 

 minalo positivo, necessariamente esiste tra a e b almeno un punto x tale 

 che la retta x = x incontra un numero infinito di tratti d. 



Sarà intanto 



mei < è — « < (m -+- l)c? 

 con m intero. 



Si consideri il gruppo ^ delle prime m -+- 2 rette: la somma di tutti i 

 tratti $ esistenti sopra di esse è almeno eguale a b — - a -+- d : dimodoché 

 fra questi tratti ve ne debbono essere alcuni che, interamente o in parte, 

 giacciono l'uno al disopra dell'altro e la somma dei medesimi, o di quelle 

 loro parti che si ricoprono, sarà eguale a t 1 >■ ; e anche si può dire: 

 nell'intervallo a...b sulla retta y = y 1 si possono segnare dei tratti 

 d { ?)(t= 1, 2, . . . mj la cui totalità ha una somma eguale a t x , tali che su 

 un punto qualsivoglia di essi elevando la perpendicolare, questa incontra 

 almeno due dei tratti d r>s dianzi detti, esistenti sulle rette 



y == V\ •> Vii • • ' y*n-\-<ì • 



Considerando il gruppo g 2 delle rette 



y —— ym-ì-z ? ym^-\ •> • • • y^m-^.\ 



si possono ripetere considerazioni analoghe : cioè, si potranno segnare 

 pure nell'intervallo a...b dei tratti d { £}(t=l, 2,...m 2 ), che potranno es- 

 sere differenti dai dfj di dianzi, tali che in somma eguagliano un numero 

 t 2 > e per un punto qualsiasi di essi elevando una perpendicolare, 

 questa incontra almeno due dei tratti d ryS esistenti sulle m + 2 rette del 

 gruppo g t . 



Si prosegua cosi a considerare dei gruppi, ciascuno di m -+- 2 rette 

 successive : a ciascuno corrisponderà un insieme finito di tratti, cioè, a 



g x , un insieme di tratti dty(t=l, 2,...m l ): a g 2 , di tratti d£}(t = l, 2,...m 2 ): 



da segnare nell'intervallo a...b sulla retta y = y l \ tali che la somma ne 

 è rispettivamente eguale a r 1? t 2 , .. . t v , ... e la perpendicolare elevata su 

 un punto qualsiasi di essi incontra almeno due dei tratti d r , s esistenti sulle 

 rette del gruppo g lì ovvero g 2 , ... g v ,. .. che si considera. 



Si può anche dire che per ognuno di questi gruppi di m -+- 2 rette esi- 

 ste un insieme di tratti o parti di tratti d r>s , i quali sono da riguardarsi 

 come doppi: pel 1° gruppo sono quelli che hanno per proiezioni sulla 

 y=y 1 i tratti chiamati d{ 2 } ; pel 2° sono quelli le cui proiezioni sono chia- 

 mate d$ e cosi via. 



